Funkcja dwóch zmiennych studenciak: Dana jest funkcja f(x) =

x2 x
	(x, y)≠(0, 0)
x2 + y2

0, (x, y)=(0, 0) a) Zbadaj ciągłość tej funkcji

	df
b) oblicz
	dx

c) Zbadaj czy funkcja jest różniczkowalna w punkcie (0,0) Czy ktoś ma jakieś pomysły?

ABC: po pierwsze zapewne źle przepisałeś przykład, dlaczego nie x³ tylko x²x ?

studenciak: Racja, tam powinno być x²y Mój błąd

ABC: do ciągłości wykorzystaj x²y =x(xy)

	xy		1
oraz |		|≤
	x2+y2		2

studenciak: Ciągłość zrobiłem w ten sposób

x2y		y
	= x2
x2+y2		x2+y2

y
	jest na pewno mniejsze lub równe 1
x2+y2

Zatem:

	y
0 ≤ x2		≤ x2
	x2+y2

lim_{(x,y)→(0,0)} 0 = 0 lim_{(x,y)→(0,0)} x² = 0

	x2y
Zatem lim(x,y)→(0,0)		=0 = f(0, 0), a skoro granica zmierzająca do (0,0) jest
	x2+y2

równa wartości w tym punkcie, to funkcja jest ciągła. Czy to jest poprawne rozwiązanie?

ABC: dałem ci wskazówkę , ty piszesz nieprawdę " mniejsze lub równe 1"

	y
weź y=0.1 , x=0.1 wtedy		=5
	x2+y2

studenciak: Różniczka po x wyszła mi:

df		2xy3
	=		poza punktem (0,0) i 0 w tym punkcie
dx		(x2+y2)2

studenciak: Dobra, tam też się zaplątałem, wyłączyłem nie to, co planowałem przed ułamek

x2y		x2
	=y
x2+y2		x2+y2

x2
	≤ 1
x2+y2

Zatem

	x2
0 ≤ y		≤ y
	x2+y2

lim y = 0 I wtedy z tw. o trzech funkcjach

ABC: teraz lepiej pochodną cząstkową po iksie w (0,0) policz z definicji i różniczkę istnienie też z def.

studenciak:

df		f(0+h, 0) − f(0, 0)		h2*0   − 0 h2+0		0
	(0, 0) =		=		=		= 0
dx		h		h		h

Cząstkowa po y chyba wyszłaby identycznie, a skoro cząstkowe są równe i funkcja jest ciągła, to funkcja jest różniczkowalna Czy to jest w ogóle prawda/dobry sposób? o.o + jak bada się istnienie różniczki?

ABC: warunek na różniczkę jako odwzorowanie liniowe powinieneś mieć, tam przeważnie nieskończenie mała występuje w tym warunku, idę spać