Zbieżność ciągu Paral: Sprawdź czy ciąg jest zbieżny:

1		2		3		n
	+		+		+ ... +
2		22		23		2n

Jak się do tego zabrać?

ABC: Oznacz to przez S_n i wykonaj chytre przekształcenia , to znajdziesz granicę

Paral: No właśnie ciężko doszukać się tych "chytrych przekształceń", jakaś podpowiedź? Wskazówka?

ABC: nie są szczególnie chytre − mnożenie i odejmowanie

mat:

1		2		n
	+		+...+
2		22		2n

	1		1		1		1
=		+		+		+......n sum
	2		22		22		2n

	1		1		1		1
=(		+...+		)+(		+...		)+...
	2		2n		22		n

	1	1−(1/2)n		1	1−(1/2)n−1		1	1−(1/2)1
=			+			+....+
	2	1−1/2		22	1−1/2		2n	1−1/2

	1		1
=1*(1−(1/2)n)+		(1−(1/2)n−1)+...+		(1−(1/2)1)
	2		2n−1

	1		1
=1+		+...+		−((1/2)n+(1/2)n+...+(1/2)n)
	2		2n−1

	1−(1/2)n−1
=		−n(1/2)n
	1−1/2

	1
=2−(		)n−2−n(1/2)n→2−0−0=2
	2

ABC: szybciej byłoby

	1		2		3		n
Sn=		+		+		+...+
	2		4		8		2n

pomnożyć to przez 2 stronami i odjąć wyjściową równość od tego granica wynosi 2

studentka: najlepiej byłoby całke policzyć

ABC: można też szereg potęgowy zróżniczkować ... to jest overkill w tym przypadku

Mariusz:

	(n+1)
A(x)=∑n=0∞		xn
	2n+1

obliczysz z pochodnej szeregu geometrycznego Sumę możesz zapisać w postaci równania rekurencyjnego

	1
s0=
	2

s_n=s_n−1+a_n które rozwiążesz funkcją tworzącą pamiętając że skoro rekurencja zachodzi dla n≥1 to sumowanie też zaczynasz od jedynki

jc: Ile średnio rzutów trzeba wykonać monetą, aby wypadła reszka? dwa i to jest granica.

mat: Fajne jc

ABC: jc nieważne kto rzuca monetą ważne kto liczy reszki heh jak na wyborach

Mariusz: mat tak bez uzasadnienia to średnio "fajne"

mat: no jak sie wie o co chodzi, wiadomo ze na 1 rok nie o to chodzilo

Paral: Dość skomplikowane, ale do ogarnięcia, dzięki!

Mariusz: Paral ABC w innym wpisie napisał Poprzednik podał link gdzie opluto klasyczne metody. Ja nie jestem wielkim ich obrońcą, a jednak da się nimi policzyć, i widać przynajmniej co się dzieje, a nie używa się wzorów bez uzasadnienia A tutaj funkcja tworząca dobrze pasuje mimo iż też jest jest opluwana choć pasuje do rekurencji liniowych i nie tylko np liczby Catalana ABC polubiłem ten fragment twojego wpisu , bo do wielu rzeczy on pasuje

ABC: Mariusz ja tam lubię funkcje tworzące ,ale w naprawdę trudnych zadaniach tutaj da się elementarnie , choć też to można ładnie nazwać "zaburzanie sum" itp.

Paral: Tylko jeszcze ani pochodnych ani całek nie miałem i właśnie potrzebuje rozwiązania elementarnego jeśli mogę to tak nazwać

jc: No to masz rozwiązanie z 22:15. Wykonaj rachunek, najlepiej dla n=5, zobaczysz, co się dzieje. No, chyba że już zrozumiałeś.

Adamm:

n		1,5n
	≤		dla odpowiednio dużych n
2n		2n

szereg zbieżny z kryterium porównawczego

Mariusz: Mnie funkcją tworzącą wyszło

	1
Sn=2−(n+3)(		)n+1
	2

Ciąg indeksowałem od zera bo tak jest wygodniej gdy korzystamy z funkcji tworzącej Gdybyśmy ciąg indeksowali od jedynki to otrzymalibyśmy

	1
Sn=2−(n+2)(		)n
	2

i z tego mamy policzyć granicę czyli wystarczy wykazać że

n+2
	→ 0 gdy n → ∞
2n

Mariusz: ABC wspomniałeś o zaburzaniu sum

	n+1		1
Sn+		=∑k=0n+1k(		)k
	2n+1		2

	n+1		1
Sn+		=0+∑k=1n+1k(		)k
	2n+1		2

	n+1		1
Sn+		=∑k=0n(k+1)(		)k+1
	2n+1		2

	n+1		1		1
Sn+		=		(∑k=0n(k+1)(		)k)
	2n+1		2		2

	n+1		1		1
Sn+		=		(∑k=0nk(		)k))+
	2n+1		2		2

	1		1
		(∑k=0n(		)k))
	2		2

	n+1		1		1		1
Sn+		=		Sn+		(∑k=0n(		)k))
	2n+1		2		2		2

	n+1		1		1	1   1−( )n+1   2
Sn+		=		Sn+
	2n+1		2		2	1   1−   2

	n+1		1		1
Sn+		=		Sn+(1−(		)n+1)
	2n+1		2		2

	1		n+1		1
Sn−		Sn=1−		−(		)n+1
	2		2n+1		2

1		n+2
	Sn=1−(		)
2		2n+1

	n+2
Sn=2−
	2n

Wpis studentki z 30 sty 2019 22:22 przypomniał mi sumowanie przez części Paral: Trochę do poczytania masz tutaj http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy

Paral: Mariusz dzięki, chyba trochę za późno zacząłem się przygotowywać do sesji

Adamm: Kto powiedział że to trzeba obliczać ...