rózniczkowalność funkcji 2 zmiennych esteban: Zbadaj różniczkowalność funkcji f(x,y) w punkcie P₀=(0,0)

	⎧	(x2+y2)*sin1x2+y2 gdy (x,y)≠(0,0)
f(x,y)=	⎩	0 gdy (x,y)=(0,0)

1) Obliczam pochodne cząstkowe w P₀=(0,0) z definicji:

	f(0+Δx,0)−f(0,0)
fx = limΔx→0		= 0
	Δx

	f(0,0+Δy)−f(0,0)
fy = limΔy→0		= 0
	Δy

2) z definicji różniczkowalności funkcji dwóch zmiennych : f(x,y)−f(x₀,y₀)=f_x(P₀)*x+f_y(P₀)*y + ϰ(x,y)*√x²+y²

	1   (x2+y2)*sin   x2+y2
ϰ(x,y)=
	√x2+y2

3) badam teraz lim₍x,y)→(0,0) ϰ(x,y) = 0 ,więc funkcja jest różniczkowalna w P₀ ALE pochodne cząstkowe nie są ciągłe w tym punkcie . Jak to interpretować ?

ICSP: ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest warunkiem koniecznym różniczkowalności funkcji w danym punkcie.

esteban: Czyli mimo wszystko odpowiedź na pytanie o różniczkowalność jest twierdząca ? A takie pytanie, jak mam zbadać ciągłość funkcji w danym punkcie. Mogę to zrobić właśnie badając w taki sposób czy funkcja jest różniczkowalna i jeśli stwierdzę że jest to z tego wywnioskować że jest ciągła w danym punkcie ?

ICSP: Pochodne cząstkowe ciągłe ⇒ Różniczkowalność Pochodne cząstkowe nie są ciągłe ⇒ O rózniczkowalności nic nie wiesz Aby pokazać ciągłość możesz sprawdzić różniczkowalność jednak jest to znaczący przerost formy nad treścią.