Wyznaczyć kresy zbioru Karolina: Wyznaczyć kresy zbioru: ⁿ√n (pierwiastek n−tego stopnia z n), gdzie n∊N−{1} Czy kresem górnym będzie granica przy n−>∞ z ⁿ√n = 1? Nie mam pomysłu na kres dolny.

Janek191: kres dolny = 1 kres górny = √2

Karolina: Skąd? Bo na przykład ³√3 > √2

ABC: kres górny to właśnie ³√3, o czym można się przekonać zbadawszy monotoniczność tego ciągu

jc: Karolina, masz rację, a potem już z górki. ⁿ√n>1 dla n>1, ⁿ√n→1, kres dolny = 1. n^1/n > (n+1)^1/(n+1) ⇔ (1+1/n)ⁿ < n co mam miejsce dla n ≥ 3.

Karolina: jc ja powoli myślę więc mam trochę pytań czyli licząc kres dolny de facto liczę granicę z ⁿ√n przy n−>∞ ? Nie wiem skąd wzięła się ostatnia linijka i jaki jest jej związek z przedostatnią. Mogłabym prosić o rozpisanie?

Karolina:

	1
W sumie (1+		)n = e < n dla n≥3 to wiem
	n

Karolina: Ale jaki ma to związek z linijką wyżej?

jc: Podniosłem obie strony do potęgi n(n+1), a potem podzieliłem przez nⁿ. Lewa strona jest mniejsza od e, a e jest mniejsze od 3. Dla n=1 i n=2 nierówność nie jest prawdziwa.

Karolina: Wszystko jasne, dzięki.