heheszki rąb: 1−2+3−4+5−.................−n = ?

Mariusz: s₀=1 s_n=s_n−1+(−1)ⁿ (n+1) s_n−1=s_n−2+(−1)ⁿ⁻¹(n) s_n=s_n−1+(−1)ⁿ (n+1) s_n−1=s_n−2−(−1)ⁿ(n) s₀=1 s₁=−1 s₂=2 s_n=−s_n−1+s_n−2+s_n−3 S(x)=∑_n=0^∞s_nxⁿ ∑_n=3^∞s_nxⁿ=∑_n=3^∞(−s_n−1)xⁿ+∑_n=3^∞(s_n−2)xⁿ +∑_n=3^∞(s_n−3)xⁿ ∑_n=3^∞s_nxⁿ=−x(∑_n=3^∞s_n−1xⁿ⁻¹)+x²(∑_n=3^∞s_n−2xⁿ⁻²) +x³(∑_n=3^∞s_n−3xⁿ⁻³) ∑_n=3^∞s_nxⁿ=−x(∑_n=2^∞s_nxⁿ)+x²(∑_n=1^∞s_nxⁿ) +x³(∑_n=0^∞s_nxⁿ) ∑_n=0^∞s_nxⁿ−1+x−2x²=−x(∑_n=0^∞s_nxⁿ−1+x)+x²(∑_n=0^∞s_nxⁿ−1) +x³(∑_n=0^∞s_nxⁿ) S(x)−1+x−2x²=−xS(x)+x−x²+x²S(x)−x²+x³S(x) S(x)(1+x−x²−x³)=1

	1
S(x)=
	1+x−x2−x3

	1
S(x)=
	1(1+x)−x2(1+x)

	1
S(x)=
	(1−x2)(1+x)

	1
S(x)=
	(1−x)(1+x)2

1		A		B		C
	=		+		+
(1−x)(1+x)2		1−x		1+x		(1+x)2

A(1+2x+x²)+B(1−x²)+C(1−x)=1 A+B+C=1 2A−C=0 A−B=0 C=2A B=A 4A=1

1		1	1		1	1		1	1
	=			+			+
(1−x)(1+x)2		4	1−x		4	1+x		2	(1+x)2

	1
∑n=0∞(−1)nxn=
	(1+x)

d		d		1
	(∑n=0∞(−1)nxn)=		(		)
dx		dx		(1+x)

	1
∑n=0∞n(−1)nxn−1=−
	(1+x)2

	1
∑n=1∞n(−1)nxn−1=−
	(1+x)2

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)n+1xn=−
	(1+x)2

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)nxn=
	(1+x)2

	1		1		1
S(x)=∑n=0∞		xn+∑n=0∞		(−1)nxn+∑n=0∞		(n+1)(−1)nxn
	4		4		2

	1		1		1
sn=		+		(−1)n+		(n+1)(−1)n
	4		4		2

	1		1
sn=		+		(2n+3)(−1)n
	4		4

PW: s_n=1−2+3−4+...+(−n). Liczba n jest parzysta.

	n
Osobno składniki dodatnie (jest ich		):
	2

	n	n
1+3+5+...+n−1 =
	2	2

	n
(suma		składników ciągu arytmetycznego).
	2

	n
Osobno składniki ujemne (jest ich		:
	2

	n+2	n
−2−4...−n = −			.
	2	2

Razem:

	n	n		n+2	n		n		n
			−			=		(n−(n+2))=−
	2	2		2	2		4		2

PW: Jeszcze prościej:

	n
(1−2)+(3−4)+....+(n−1−n) = suma		składników, z których każdy jest równy (−1).
	2