ciągi xxx: Dany jest ciąg określony rekurencyjnie: a₁=5; a_n+1=4a_n + 1 Oblicz sumę czterdziestu początkowych wyrazów tego ciągu

mat: a jakby było tak: a₁=5, a_n+1=4a_n to by był ciąg ..... to +1 nam nie przeszkadza zbytnio przy sumie 40 początkowych wyrazów pojawi się dodatkowe 39 jedynek

xxx: myślałam nad tym, ale nie wiedziałam jak to zapisać. dziękuję

Satan: Jak to nie ma znaczenia? a₁ = 5 a₂ = 21 a₃ = 85 a₄ = 341 a₅ = 1365 A według Ciebie ich ilość wynosi 39. Sprawdźmy: a₁ = 5 a₂ = 20 a₃ = 80 a₄ = 320 a₅ = 1280 Chyba jednak ciut więcej wynosi ta różnica, niż 39. Gdyby tak było, to różnica każdego wyrazu pomijając pierwszy byłaby równa 1. A nie jest.

Mila: xxx, nie uczyłeś się jak wyznaczyć jawną postać ciągu?

mat: Tak, miałem właśnie pisać że za prosto, 1+4+16...

mat: Taką sumę trzeba dodać

Satan: Sam nie wiem jak to zrobić, ale zauważyłem, że jak odejmiemy kolejne wyrazy, to dostajemy jakąś potęgę dwójki. a₂ − a₁ = 16 a₃ − a₂ = 64 a₄ − a₃ = 256 Tak więc coś tu na rzeczy musi być

Mila:

	1
an=		*(4n+1−1)
	3

	16		40
S40=(440−1)*		−
	9		3

Mariusz: a₁=5; a_n+1=4a_n + 1 ∑_n=1a_nxⁿ=A(x) ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞4a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞xⁿ

	x2
∑n=2∞anxn=4x(∑n=2∞an−1xn−1)+
	1−x

	x2
∑n=1∞anxn−5x=4x(∑n=1∞anxn)+
	1−x

	x2
A(x)−5x=4xA(x)+
	1−x

	x2
A(x)(1−4x)=5x+
	1−x

	5x−4x2
A(x)(1−4x)=
	1−x

	5x−4x2
A(x)=
	(1−4x)(1−x)

5x−4x2		4Ax		Bx
	=		+
(1−4x)(1−x)		1−4x		1−x

4Ax(1−x)+Bx(1−4x)=5x−4x² (4A+B)x+(−4A−4B)x²=5x−4x² 4A+B=5 −4A−4B=−4 −3B=1

	1
B=−
	3

A+B=1 A=1−B

	4
A=
	3

	4	4x		1	x
A(x)=			−
	3	1−4x		3	1−x

	4		1
A(x)=∑n=1∞		4nxn+∑n=1∞(−		xn)
	3		3

	4		1
an=		4n−
	3		3