pochodna vvool: Pytanie W jakim celu się liczy drugą pochodną, trzecią itd.? Bo pierwszą w celu zbadania monotoniczności funkcji. Drugą ... w tym samym celu?

wredulus_pospolitus: pierwsza − określa monotoniczność druga − wklęsłość i wypukłość funkcji Należy jednak zauważyć, że bez szkicu wykresu pierwszej/drugiej pochodnej nie jesteś w stanie określić czy dane punkty (dla których pierwsza/druga pochodna się zeruje) to ekstrema lokalne czy punkty przegięcia. Ekstremum => jeżeli nieparzysta pochodna = 0, a kolejna (parzysta) ≠ 0 Punkt przegięcia => jeżeli parzysta pochodna = 0, a kolejna (nieparzysta) ≠ 0 I to tak naprawdę jest dopiero 'wykazanie' czy x₀ = 3 jest ekstremum lokalnym czy punktem przegięcia (a nie szkic wykresu pochodnej )

esteban: Czyli stwierdzenie że jakieś x₀ jest ekstremum na podstawie tego że pierwsza pochodna w otoczeniu tego punktu zmienia znak na przeciwny , nie jest poprawne ?

Bleee: Nie napisałem że nie jest poprawne. Napisałem tylko że wnioskowanie na podstawie szkicu wykresu pochodnej nie jest do końca matematycznym wykazaniem tego czy i gdzie są ekstrem. Dodatkowo vvool dodał zadanie z funkcją której pierwsza pochodna nie wygląda do przyjemnych, natomiast druga pochodną jest zawsze dodatnia i to na podstawie drugiej pochodnej można określić liczbę minimum (ale nie odnaleźć tego punkt) lokalnych. Wiedzą ta mocno ułatwia nam wykonanie zadania, ponieważ wtedy już wiemy czego szukamy i mamy pewność że jest tylko jedno ekstremum.

Adamm: f(x) =

	f''(x0)		f(n)(x0)
f(x0)+f'(x0)(x−x0)+		(x−x0)2+...+		(x−x0)n+o((x−x0)n)
	2!		n!

to tak zwany wzór Taylora pozwala on nam przybliżać funkcję f(x) przez wielomian co najwyżej n−tego stopnia