funkcja górnej granicy całkowania esteban: Obliczyć pochodną funkcji H(x) = ∫_x²+x^sinx e^t2dt Rozbiłem na sumę dwóch całek H(x) = ∫₀^sinx e^t2dt − ∫₀^x2+x e^t2dt I teraz obliczam pochodne poszczególnych składników sumy, jako iloczyn funkcji podcałkowej oraz pochodnej górnej granicy całkowania, czyli H'(x)= cosx*e^sin2x − (2x+1)* e^x2+x Czy to jest poprawne rozwiązanie ? Bo nie do końca to rozumiem Co jeśli mielibyśmy niezerową stałą wynikającą z dolnej granicy cąłkowania (w tym przypadku e⁰−e⁰=0, ale co jakby było ≠0? czy ta stała znika ze względu na to że funkcja jest różniczkowana czy zostaje?)

Adamm: H'(x) = cosx*e^sin2x − (2x+1)* e^(x2+x)2 dolna granica całkowania jest bez znaczenia jeśli jest stała

esteban: fakt, źle przepisałem z zeszyciku A powiedz mi jeszcze w podobnym temacie pytanie , taka granica do policzenia :

	∫0sinx √tgtdt
limx→0+		=
	∫0tgx √sintdt

Prawdopodobnie trzeba tu skorzystać z reguły de l'Hospitala, tylko jak stwierdzić że mamy do czynienia z którymś z symboli nieoznaczonych odpowiednich do skorzystania z tej reguły ? Po prostu podstawiam x→0 ⇒ u=sinx→0 ⇒ √tgu→0 ? W mianowniku podobnie ? Czy robi się to używając jakichś mocniejszych twierdzeń ? trochę nie jestem przekonany do tego sposobu, bo granice całkowania podstawia się do funkcji pierwotnych , których nie znamy bo nie liczyliśmy całki

Adamm: całki są zbieżne bo sin(t) ~ tg(t) ~ t gdy t→0⁺ dla dowolnej całki ∫₀^t₀ f(x) dx, zbieżnej w sensie Riemanna, niewłaściwej w 0, możemy spokojnie powiedzieć że ∫₀^t f(x) dx → 0 gdy t → 0⁺ faktycznie ∫₀^t₀ f(x) dx = lim_t→0⁺ (∫₀^t f(x) dx + ∫_t^t₀ f(x) dx) = = lim_t→0⁺ ∫₀^t f(x) dx + ∫₀^t₀ f(x) dx bo ∫₀^t₀ f(x) dx jest zbieżna jako całka niewłaściwa

Adamm: dla całek zbieżnych w sensie Lebesgue podobne twierdzenie również zachodzi

esteban: Dzieki, mógłbyś jeszcze tutaj podpowiedzieć ?

	∫x2x2+1 ln(t+1)dt
limx→+∞		= (*)
	x2

Całka z licznika jest rozbieżna, ponieważ ... ?

	∞
(*) = [		− > korzystam z reguły de l'Hospitala] =
	∞

	2x*ln(x2+2)−2x*ln(x2+1)		1
limx→+∞		= limx→+∞ ln(1+		)
	2x		x2+1

	1
1+		→ e, zatem (*)=1
	x2+1

Adamm: np. całka ≥ ln(x²+1)