Zespolone (równanie i argument główny) Michał: Witam. Mam problem z dwoma zadaniami z zespolonych. 1) (−1+i ctg 101/5 π)¹7 − wyznacz argument główny, cos tam policzyłem, natomiast nie chcę tego pisać, żeby nie mieszać, nie mam też pewności co do poprawności tego 2) z⁴+(2i−1)z²−2i=0, po podstawieniu za z²=u policzyłem Δ, później pierwiastek z Δ i dostałem 4 różne pierwiastki,który mam wybrać i jak to liczyć dalej? Nie mam odpowiedzi do tych zadań Proszę pomóżcie mi. Będę bardzo wdzięczny

jc: z⁴+(2i−1)z²−2i=(z²−1)(z²+2i) Pierwiastki z=1, z=−1, z = 1−i, z = −1+i

jc: −1 + i ctg 101π/5 = i (ctg 101π/5) (1 + i tg 101π/5) arg i = π/2 arg (1 + i tg 101π/5) = 101π/5 arg ( )¹⁷ = (101*17/5+17/2) π = (17/5+1/2) π = 19π/20 (mod 2π) (lepiej sprawdź)

Michał: Na zajęciach mieliśmy podobny przykład, natomiast nie skończyliśmy go. Według przykładu trzeba policzyć |z|, i wyszło 1/(sinπ/5)(kąt 101π/5 skróciliśmy do π/5), po czym liczyliśmy cosφ i sinφ, cos wyszedł −sin π/5, a sin = cosπ/5, z czego wywnioskowaliśmy, że jest to druga ćwiartka, czyli ostatecznie mamy cosφ=π/2+π/5(czyli7π/10), a sinφ=π/2+π/5(czyli 7π/10). Ale teraz nie wiem co mam zrobić z tą 17−stą potęgą. Dopisać do tego kąta 7π/10 +2*17*π i tym samym dostanę tą potęgę?

jc: Jakie znaczenie ma ćwiartka? Argument główny liczby (cos f + i sin f)ⁿ otrzymujesz biorąc resztę z dzielenia nf przez 2π.

Michał: Może napisze jak to mam w zeszycie (−1+ictg 101π/5)⁽17) z = −1+ictg π/5 |z| = 1/(sin π/5) Po wyliczeniu cosφ i sinφ (czyli x/|z| i y/|z|) dostaliśmy taki wynik: cosφ = − sin π/5 sinφ = cos π/5 ćwiartka była potrzebna po to, by skorzystać ze wzorów redukcyjnych. No i ostatecznie cosφ= 7π/10, a sinφ= 7π/10. Na tym etapie nie wiem jak powrócić do tej potęgi i jak ją wykorzystać

Michał: Miało być cosφ = cos 7π/10 sinφ = sin 7π/10

jc: rachunek modulo 2 17(101/5+1/2) = 17(1/5 + 1/2)= 17*7/10=19/10 argument główny potęgi = 19π/10

Michał: Dziękuję bardzo