Pierwiastkowanie liczby zespolonej slaby_student123: Witam, mam takie zadanie: z = ³√−47+52i moim celem jest policzenie tego za pomocą wzoru na n−ty pierwiastek liczby zespolonej. Problem w tym taki, ze nie wiem jak policzyć φ, wiem tylko ze gdy liczba urojona jest ujemna to φ = 2π − arccos(a/|z|) a jak się ma sprawa w tym przypadku (góra)? |z| = √a² + b² z₀ = ⁿ√|z|(cos(φ+2kπ/n) + isin(φ+2kπ/n)) Tyle wiem tylko. Proszę o pomoc

jc: Wskazówka. (1−4i)³=−47+52i

jc: Czym u Ciebie jest z₀?

slaby_student123: W taki sposób rozwiązywaliśmy podobne zadanie na ćwiczeniach. najpierw |z|, potem φ, które w przypadku ujemnej części urojonej równało się φ = 2π − arccos(a/|z|) no i potem z₀, z₁ były to pierwiastki tak robiliśmy na ćwiczeniach (1−4i)3=−47+52i z tym nie wiem o co chodzi, to chyba inna metoda, której nie znam

jc: Coś namieszałeś. Czym są a i b? Jeśli z³=a+bi, to |z|³=√a²+b², co jest niezgodne z tym, że |z|=√a²+b², no chyba że |z|=1.

jc: Rozwiązaniami równania zⁿ = r(cos f + i sin f) są liczby z = ⁿ√r(cos f/n + i sin f/n)(cos 2kπ/n + i sin 2kπ/n), k=0,1,2,...,n−1 Jeśli r(cos f + i sin f)=a+bi, to r=√a²+b², natomiast i zajdziesz wpisując w komputerze f=atan2(b,a) (jeśli nie zidentyfikujesz kąta, a chcesz mieć wynik).

slaby_student123: a i b to kolejno a = −47 i b = 52 z to z₀ to po prostu pierwszy pierwiastek, z tego co widzę w internecie oznacza się go jako ω₀

slaby_student123: Dla przykładu mam takie zadanie z zajęć: z = −40−42i Obliczone w ten sposób: |z| = √(−40)²+(−42)² = 58 φ = 2π−arccos(−40/58) = 3.951376 √z₀ = √58 * (cos 3.951376/2 + i sin 3,951376/2) = −3+7i √z₁ = 3−7i czy da sie w taki sam sposob zrobic to czym mowa wyzej?

slaby_student123: Ok, udało mi się to policzyć w taki sposób: z = ³√−47+52i |z| = √(−47)² + 52² = 70.09278 φ = arccos (−47 / 70.09278) = 2,3057 z₀ = ³√70.09278 (cos 2,3057/3 + i sin 2,3057/3) = 2,96 + 2,86i z₁ = ³√70.09278 (cos 2,3057+2π /3 + i sin 2,3057+2π/3) = 2,96 + 2,86i Pytanie czy ten sposób jest uniwersalny, tzn. wiem że tak jak pisałem wyżej, dla ujemnej liczby urojonej φ=2π−arccos(a/|z|) gdzie a = −47, a inne sytuacje?

slaby_student123: a i oczywiście z₂ = ³√70.09278 (cos 2,3057+4π /3 + i sin 2,3057+4π/3) = 1+ 4i

jc: Przecież to bez sensu. Jeśli z=³√−47+52i (od tego zaczynasz), to z³=−47+52i, |z|³=√47²+52², a nie tak, jak piszesz |z|=√47²+52².

jc: Poza tym dlaczego bierzesz arccos, a nie po prostu arctg, co wydaje się z różnych powodów łatwiejsze?

slaby_student123: Błąd, miało być ³√z = ... Nie jestem biegły w sprawie liczb zespolonych, w notatkach miałem tylko 2π−arccos dla ujemnej liczby urojonej, arccos dla dodatniej Z jakich przykładowo przyczyn zastosowanie arctg jest łatwiejsze?

jc: Choćby z takich, że w każdym systemie masz pod ręką gotową funkcję atan2( ). W przeglądarce, którą używasz też masz. Łatwiej jest wpisać atan2(3,7) niż arccos i dopowiadać jakieś szczegóły. Poza tym, czy wiesz, jak policzyć arccos? A o tym, jak liczyć arctg dowiesz się niebawem. Zwracając do z. Czy miało być ³√z=−47+52i?

slaby_student123: A argumenty tego atan2 3 i 7, skąd się wzięły? Czy to tylko do przykładu? "Zwracając do z. Czy miało być ³√z=−47+52i?" Chyba tak, szczerze mówiąc nie wiem, ponieważ wykładowca nie zwracał uwagi jak uczniowie to zapisują przy tablicy, a zapisywali różnie, dlatego sam nie wiem

jc: Argumenty tylko tak dla przykładu. Firefox →narzędzia dla programistów →brudnopis →wyświetl Math.atan2(52,−47) 2.3057323161754892

slaby_student123: Faktycznie wychodzi φ, tylko że tej opcji nie ma pewnie na "podstawowym" kalkulatorze naukowym

jc: Ale masz atan = arctg.