Dowód Satan: Mam taki mały problem ze zrozumieniem czegoś w dowodzie. Dosłownie zacytuję: Twierdzenie: każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. DOWÓD: Niech {a_n} będzie ciągiem spełniającym założenia twierdzenia. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że jest on rosnący. Na mocy twierdzenia 3 (twierdzenie o granicy podciągu) istnieje podciąg {a_nk} (tam ma być n_k, ale strona nie pozwala na to) zbieżny do pewnej granicy g ∊ ℛ. Wobec tego przy dowolnie ustalonym ε > 0 istnieje liczba naturalna l taka, że dla k ≥ l istnieje nierówność: g − ε < a_nk < g + ε No i pytanie dotyczy tego k i l. Dlaczego k ≥ l, a nie k > l? W definicji to n > N, które to dobieramy do ε. Reszta dowodu, dla większego zrozumienia: https://zapodaj.net/57efef9741439.png.html

Adamm: bez znaczenia

Adamm: k ≥ l ⇔ k > l−1 bo l jest naturalna

Adamm: nawet gdyby 'N' nie było naturalne, to nadal moglibyśmy wybrać np. l = [N]+1 żeby wszystko się zgadzało

Satan: Okej, myślę, że wiem już o co w tym chodzi. Dziękuję

jc: Prościej skorzystać z faktu, że każdy niepusty i ograniczony podzbiór R posiada kres górny. Kres górny zbioru wartości ciągu rosnącego i ograniczonego jest jego granicą (prawie widać).