Całki Julka: całka sin²x/(sin²x+4cos²x) (wpisując za pomocą narzędzi matematycznych było bardzo nieczytelne) Czy ktoś potrafi rozwiązać ten przykład nie stosując podstawienia uniwersalnego?

Mariusz:

	sin2(x)
∫		dx
	sin2(x)+4cos2(x)

	sin2(x)   cos2(x)
∫		dx
	sin2(x)+4cos2(x)   cos2(x)

	tg2(x)
∫		dx
	tg2(x)+4

t=tg(x) dt=(1+t²)dx

	1
dx=		dt
	1+t2

	t2
∫		dt
	(t2+4)(t2+1)

1		4(t2+1)−(t2+4)
	∫		dt
3		(t2+4)(t2+1)

4		dt		1		dt
	∫		−		∫
3		t2+4		3		t2+1

1		dt		1		dt
	∫		−		∫
3		t   1+( )2   2		3		1+t2

2		1   dt 2		1		dt
	∫		−		∫
3		t   1+( )2   2		3		1+t2

2		t		1
	arctan(		)−		arctan(t)+C
3		2		3

2		tg(x)		1
	arctan(		)−		x+C
3		2		3

Julka: Dziękuję ślicznie!