Przestrzeń liniowa i podprzestrzeń liniowa Adrian: Wykazać że zbiór A={a[x,y,z,w]eR⁴:x+2y−3z+w=0 2x+y−z+3w=0} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej R⁴. Znaleźć bazę i wymiar Dałby ktoś radę w miarę to rozpisać. Zbiór musi spełniać 3 warunki 1. V jest niepusty, 2. jeśli v ∈ V oraz a ∈ R =⇒ av ∈ V , 3. jeśli u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V . Zadanie banalne z mając def.(trywialne) ale nie potrafię tego rozpisać Później muszę jeszcze znaleźć bazę

jc: Zbiór rozwiązań równania jednorodnego zawsze tworzy podprzestrzeń. Zbiór rozwiązań jest niepusty − na pewno x=y=z=w=0 jest rozwiązaniem. Zakładasz, że x, y, z, w spełniają układ równań wypisany w nawiasie. Pokazujesz, że kx, ky, kz, kw też spełniają układ równań. Zakładasz, że x, y, z, w oraz x',y',z',w' spełniają układ równań wypisany w nawiasie. Pokazujesz, że x+x', y+y', z+z', w+w' też spełniają układ równań. −−−

Adrian: Hmm chyba naprawdę ostatnio cofnąłem się w rozwoju z układ równań wyszło mi x=−5y+8z w=3y−5z y,zeR Mam pokazać że dla k e A spełnione jest równanie ? jak podstawię wszędzie obok x,y,z,w k nadal wszystko będzie spełnione 2. za x mam podstawić po prostu x0+x' i rozwiązać ? Przepraszam od razu za oczywistość moich pytań i ich "głupotę" aksjomaty rozumiem ale jakoś średnio potrafię je wykorzystać (każdy wektor z tej podprzestrzeni pomnożony przez skalar, (ten wektor) będzie nadal w podprzestrzeni_ (suma dwóch wektorów w podprzestrzeni "mieści się w podprzestrzeni ".

jc: Zakładamy, że x,y,z,w spełniają układ równań: x+2y−3z+w=0 2x+y−z+3w=0 Pomnóżmy każde z równań przez k. k(x+2y−3z+w)=0 k(2x+y−z+3w)=0 (kx)+2(ky)−3(kz)+(kw)=0 2(kx)+(ky)−(kz)+3(kw)=0 Oznacza to, ze kx, ky, kz, kw też spełniają ten sam układ rówań. Teraz to samo dla sumy ...