grupy grupy: Rozwazmy pierscien Gaussa Z[i]. a) Niech I=(1+i) bedzie idealem glownym generowanym przez 1+i w Z[i]. Udowodnic, ze 2∊I oraz I∩Z=2Z. b) Ile elementow ma pierscien ilorazowy Z[i]/I ? a) (1+i)∊I oraz (1−i)∊I (1+i)(1−i)=1+1=2∊I I∩Z=2Z ? b) ?

grupy: Jak w ogole rozpisac I=(1+i)={.....} ?

grupy: ?

Adamm: a) (1+i)∊I, (1−i)∊Z[i] z racji tego że I jest ideałem (1+i)(1−i) = 2∊I stąd dla całkowitych n, 2n∊I zatem 2Z ⊂ I∩Z I = {(1+i)(a+bi) : a, b∊Z} = {(a−b)+(a+b)i : a, b∊Z} Jeśli z∊I∩Z, to z = (a−b)+(a+b)i dla pewnych a, b∊Z, przy czym a+b = 0 zatem z = 2a dla pewnego a∊Z więc I∩Z ⊂ 2Z

grupy: b) przeliczalnie wiele ?