Oblicz granice Karla :

	ex2−1
Lim (x −−> 0)
	cosx −1

To jest e do potęgi x do potęgi 2

Jerzy:

	2xex2		2*ex2 + 4xex2		2
= lim		=		= [		] = −2
	−sinx		−cosx		−1

Mariusz:

ex2−1	x2
x2	cos(x)−1

ex2−1	x2
x2	cos2(x/2)−sin2(x/2)−cos2(x/2)−sin2(x/2)

ex2−1	x2
x2	−2sin2(x/2)

ex2−1	x   4( )2   2
x2	x   −2sin2( )   2

	ex2−1
lim
	x2

t=x² t→0 gdy x→0

	et−1
limt→0		=1
	t

	x   4( )2   2
limx→0
	x   −2sin2( )   2

	4		x   ( )2   2
=		limx→0
	−2		x   sin2( )   2

=−2

Jerzy: I chyba zgodzisz się Mariusz, że reguła H górą.

Mariusz: No ale czy aby na pewno nie będziesz potrzebował liczonej granicy do obliczenia pochodnej Występują tutaj granice

	ex−1
limx→0
	x

oraz

	sin(x)
limx→0
	x

Pierwszej potrzebujesz do policzenia pochodnej z e^x Drugiej potrzebujesz do policzenia pochodnych z funkcyj trygonometrycznych

Jerzy: Mariusz ... proszę, nie wyważaj otwartych drzwi.

Mariusz: Poza tym nadużywasz L'Hospitala

	x
np w granicy z limx→∞
	√x2+1

nawet amerykańcy zauważyli że byś się zapętlił Granice są wprowadzane zwykle przed pochodnymi więc skąd masz pewność że Karla je zna Z tego że granica ilorazu pochodnych nie istnieje nie wynika że granica ilorazu funkcji nie istnieje Tak więc reguła de L'Hospitala ma sporo ograniczeń