Ciąg zstępujący
Satan: Niech ℙ
n będzie ciągiem przedziałów na osi liczbowej i będzie ciągiem zstępującym. Wówczas:
ℙ
n + 1 ⊂ ℙ
n dla dowolnego n ∊ ℕ.
Oznaczając końce przedziału ℙ
n przez a
n i b
n, przy czym a
n < b
n widzimy, że ciąg a
n jest
rosnący, zaś ciąg b
n jest malejący.
Teraz takie pytanie odnośnie powyższego. Czy jakiś wyraz ciągu a
n może być w pewnym momencie
większy od b
n? Mam przed sobą dowód twierdzenia Ascoliego o tym, że każdy ciąg zstępujący
przedziałów domkniętych ma niepustą część wspólną i trochę się gubię w wyobrażaniu sobie tego.
Link:
https://zapodaj.net/74e2cd4d0d330.png.html
Mianowicie pytanie odnosi się do (1). Nie bardzo to widzę.
24 sty 19:59
Satan: Tam u góry korekta: an ≤ bn
24 sty 20:01
Satan: Chyba po części wiem, ale żeby się upewnić: zachodzi to, ponieważ ustalając dowolne m zwężamy
przedział na osi liczbowej?
b
n jest malejący, więc dla m > n będzie zachodziło b
m < b
n. Oznacza to zawężenie przedziału,
tak?
I jednocześnie a
n nigdy nie będzie większe od b
n, bo b
n jest końcem prawego przedziału, a
a
n lewego, tak?
24 sty 20:15
ABC: 
24 sty 20:18
