Całka trygonometryczna Maciek12:

	3+sinx
Oblicz całkę ∫
	1+cosx

Jerzy: Podstawienie uniwersalne.

Mariusz:

	3		sin(x)
∫		dx+∫		dx
	1+cos(x)		1+cos(x)

	3		sin(x)
∫		dx+∫		dx
	x   x   x   x   cos2( )+sin2( )+cos2( )−sin2( )   2   2   2   2		1+cos(x)

	1		−sin(x)
3∫		−∫		dx
	x   2cos2( )   2		1+cos(x)

cos(x)=(1−sin(x))t cos²(x)=(1−sin(x))²t² 1−sin²(x)=(1−sin(x))²t² (1−sin(x))(1+sin(x))=(1−sin(x))²t² 1+sin(x)=(1−sin(x))t² 1+sin(x)=t²−t²sin(x) t²−1=sin(x)+t²sin(x) t²−1=sin(x)(t²+1)

	t2−1
sin(x)=
	t2+1

	2t
cos(x)=
	t2+1

	2t(t2+1)−2t(t2−1)
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

	4t
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

2t		2t	2
	dx=			dt
t2+1		t2+1	t2+1

	2
dx=		dt
	t2+1

	t2−1   3+   t2+1	2
∫			dt
	2t   1+   t2+1	t2+1

	4t2+2   t2+1	2
∫			dt
	t2+2t+1   t2+1	t2+1

	8t2+4
∫		dt
	(t+1)2(t2+1)

A		B		Ct+D		8t2+4
	+		+		=
t+1		(t+1)2		t2+1		(t+1)2(t2+1)

A(t+1)(t²+1)+B(t²+1)+C(t³+2t²+t)+D(t²+2t+1)=8t²+4 A(t³+t²+t+1)+B(t²+1)+C(t³+2t²+t)+D(t²+2t+1)=8t²+4 A+C=0 A+B+2C+D=8 A+C+2D=0 A+B+D=4 C=−A −A+B+D=8 D=0 A+B=4 C=−A D=0 −A+B=8 A+B=4 C=−A D=0 B=6 A=−2

A		B		Ct+D		8t2+4
	+		+		=
t+1		(t+1)2		t2+1		(t+1)2(t2+1)

−2		6		2t		8t2+4
	+		+		=
t+1		(t+1)2		t2+1		(t+1)2(t2+1)

	6
−2ln|t+1|−		+ln|t2+1|+C
	t+1

	6		t2+1
−		+ln|		|
	t+1		t2+2t+1

	sin(x)−1		1
= 6		+ln|		|+C
	cos(x)−sin(x)+1		cos(x)+1

jc: Mnożysz licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Dalej łatwo.

	3 + sin x		1		cos x		sin x
∫		= ∫(3*		− 3*		+		)dx
	1 + cos x		sin2 x		sin2x		1 + cos x

	3
=−3 ctg x +		− ln(1+cos x)
	sin x

Mariusz: To nie jest sprzężenie ale w sposób co proponujesz można uniknąć funkcji trygonometrycznych połowy kąta

ICSP:

	3 + sinx		1		sinx
∫		dx = 3 ∫		dx + ∫		dx =
	1 + cosx		2 cos2(x/2)		1 + cosx

= 3tg(x/2) − ln(1 + cosx) + C

Mariusz: ICSP na początku mojego wpisu właśnie zapisałem całkę w ten sam sposób a później zacząłem się bawić tzw uniwersalnym podstawieniem