grupy grupy: W grupie skonczonej G, ktorej rzad jest potega dwojki, dane sa elementy a,b takie, ze element aba jest odwrotny do elementu bab. Udowodnic, ze b=a⁻¹. |G|=2ⁿ (bab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹b⁻¹ b⁻¹a⁻¹b⁻¹=aba /*b a⁻¹b⁻¹=baba /*b a⁻¹=babab Ale co dalej?

Adamm: (ab)³ =e (ab)^2n−1*3 = e (ab)²ⁿ⁻¹=e ab=e

Adamm: No to rozumowanie nie było wcale najlepsze szczególnie przejście z przedostatniej do ostatniej linijki (ab)²ⁿ = e i (ab)³ = e Jeśli n jest parzyste, to 2ⁿ = 3k+1, i (ab)²ⁿ = (ab)^3k(ab) = ab = e jeśli n jest nieparzyste, to 2ⁿ = 3k−1, i (ab)²ⁿ = (ab)^3k(ab)⁻¹ = (ab)⁻¹ = e w każdym razie, b = a⁻¹

grupy: A skad wiem, ze (ab)³=e?

Adamm: (aba)(bab) = e (ab)³ = e

grupy: Dlaczego jesli n parzyste to 2ⁿ=3k+1; k∊{0, 1, 2,3 ,...} n=2 to 4=3*1+1=3+1=4 n=4 to 16=3*2+1=6+1=7 (rownosc jest dla k=5, ale czemu nie robie po kolei od 2?) Nie rozumiem jeszcze przejscia (ab)^3k(ab) = ab = e.

grupy: ?

Adamm: 2ⁿ ≡ (−1)ⁿ (mod 3) w zależności od parzystości mamy że 2ⁿ = 3k+1 lub 2ⁿ = 3k−1

Adamm: (ab)³ = e, więc (ab)^3k = ((ab)³)^k = e^k = e

grupy: Ok. Dziekuje A gdyby rzad G byl potega trojki albo potega piatki to jakie bylyby przystawania modulo?

Adamm: (3m)ⁿ ≡ 0 (mod 3) (3m+1)ⁿ ≡ 1 (mod 3) (3m+2)ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 3) <− to już znamy