cxz fsdaf: y' + y = sin x rozwiąże ktoś?

grzest: y' + y = sin x Jest to r.r. liniowe pierwszego rzędu, niejednorodne. y'+y=0 − równanie jednorodne. dy/dx=−y

dy
	=−dx
y

lny=−x+lnC y=Ce^−x − rozwiązanie r.r. jednorodnego. Rozwiązanie r.r. niejednorodnego znajdę metodą uzmiennienia stałej. y=C(x)e^−x y'=C'(x)e^−x−C(x)e^−x y'+y=C'(x)e^−x−C(x)e^−x+C(x)e^−x C'(x)e^−x=sinx C'(x)=e^xsinx C(x)=∫e^xsinx = 1/2 e^x (sin(x) − cos(x))+ C₁ y = C₁ e^−x+sin(x)/2−cos(x)/2

Jerzy: y = C*e^−x i uzmienniamy stałą. C’(x)*e^−x + C(x)*(−e^−x) + C(x)*e^−x = sinx C’(x) = e^x*sinx C(x) = ∫e^x*sinxdx ..... i całkujesz przez części.

ford: y' + y = 0 y₁=e^r*x y₁' = r*e^r*x r*e^r*x + e^r*x = 0 e^r*x(r+1) = 0 |: e^r*x r+1 = 0 r = −1 y₁ = e^−x y₂ = A*sinx + B*cosx y₂' = A*cosx − B*sinx A*cosx − B*sinx + A*sinx + B*cosx = sinx (A+B)*cosx + (A−B)*sinx = sinx (A+B)*cosx + (A−B)*sinx = 0*cosx + 1*sinx {A+B = 0 {A−B = 1 −−−−−−−−−−−−−− 2A = 1 |:2

	1
A =
	2

	1
B = −
	2

	1		1
y2 =		sinx −		cosx
	2		2

y = y₁+y₂ y = e^−x + 1/2 sinx − 1/2 cosx

ford: mam błąd na początku: zamiast y₁ = e^r*x powinno być y₁ = C₁*e^r*x więc ostateczna odp. to y = C₁*e^−x + 1/2 sinx − 1/2 cosx

studentka: y' + y = sin(x) e^xy' + e^xy = e^xsin(x) (e^xy)' = e^xsin(x)

	1		1
exy =		exsin(x) −		excos(x) + C
	2		2

	1		1
y =		sin(x) −		cos(x) + e−xC
	2		2