grupy grupy: Czy podane wielomiany sa rozkladalne? a) f= x³+3x²−3x+2,Q[X] b) f= x⁴+1 w Q[X] c) f= x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 w Z₇[X] a) z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu: nie ma pierwiastkow wymiernych. Ale jest stopnia 3 zatem ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty,ale jak nie ma wymiernych to jest on rzeczywisty. Moze miec czynnik liniowy, ale z pierwiastkiem niewymiernym. Zatem jest nierozkladalny w Q[X]. b) nie ma pierwiastkow wymiernych; ale bedzie rozkladalny na dwa czynniki kwadratowe jak sie rozpisze (x²)²+(1²)²=... (czyli wielomian moze nie miec pierwiastkow i byc rozkladalny) c) tutaj nie wiem Dobre uzasadnienia?

jc: (a) Gdyby był rozkładalny, miałby pierwiastek wymierny, a nie ma, więc jest nierozkładalny. (b) Też jest nierozkładalny. Rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, ale nie wymierne. X⁴+1=(x²+1)−2x²=(x²+x√2+1)(x²−x√2+1) (c) f(1)=0 więc wielomian dzieli się przez wielomian x−1. Rozkładalny.

jc: (c) f=(x+6)(x⁵+2x⁴+3x³+4x²+5x+6)

grupy: Ok. Dziekuje bardzo (c) A czy prawda jest, ze ten wielomian bedzie podzielny przez (x+6), bo −1=6 w Z₇ czyli jak mamy pierwiastek np. 1, to w Z₇ (x−1)=(x+6) ?