liniowa zaleznosc wektorów Rafal187: Wykazać ze dla w przestrzeni n wymiarowej m wektorów tej przestrzeni r takich ze m>n jest zawsze liniowo zależna

jc: Jednorodny układ równań n równań liniowych z m>n niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie. Dowód indukcyjny (indukcja ze względu na n). Jedno równanie jednorodne z dwiema lub większą liczbą niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie (jeśli jakaś niewiadoma nie wystąpi w równaniu, to jeszcze prościej − może przyjąć dowolną wartość). Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n−1. Rozpatrzmy układ n jednorodnych równań z m niewiadomymi, m>n. Wyznaczmy z pierwszego równania jakąkolwiek niewiadomą. Podstawmy do pozostałych równań. W ten sposób pozostałe równania utworzą układ n−1 równań z m−1 niewidomymi (niektóre mogą się w ogóle jawnie nie pojawić). Na mocy założenia układ ten ma niezerowe rozwiązanie. Podstawianą niewiadomą daje nam pierwsze równanie. Jednorodność jest potrzebna w dowodzie, bo może się zdarzyć, że jakaś niewidoma nie pojawi się w układzie. Wtedy pozostałe niewiadome możemy przyjąć równe zero.