zadanie maturak: x⁴+7x−3x²+1=0 Podobno da się to jakoś ,,trikowo" rozwiązać, ale nie widze jak :<

ABC: z taki współczynnikami jak wypisałeś to "trikowo" będzie ciężko

Mariusz: (x²+ax+b)(x²+cx+d)=x⁴−3x²+7x+1 x⁴+cx³+dx²+ax³+acx²+adx+bx²+bcx+bd=x⁴−3x²+7x+1 x⁴+(a+c)x³+(b+d+ac)x²+(ad+bc)x+bd a+c=0 b+d+ac=−3 ad+bc=7 bd=1 c=−a b+d−a²=−3 ad−ab=7 bd=1 c=−a b+d=−3+a² a(d−b)=7 bd=1 c=−a b+d=−3+a²

	7
b−d=−
	a

4bd=4 c=−a

	7
2b=−3+a2−
	a

	7
2d=−3+a2+
	a

4bd=4

	7		7
(−3+a2−		)(−3+a2+		)=4
	a		a

	49
(−3+a2)2−		=4
	a2

	49
a4−6a2+9−4−		=0
	a2

a⁶−6a⁴+5a²−49=0 t=a² t³−6t²+5t−49=0 (t³−6t²+12t−8)−7(t−2)−55=0 (t−2)³−7(t−2)−55=0 y³−7y−55=0 y=u+v (u+v)³−7(u+v)−55=0 u³+3u²v+3uv²+v³−7(u+v)−55=0

	7
u3+v3−55+3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³−55=0

	7
3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³=55

	7
uv=
	3

u³+v³=55

	343
u3v3=
	27

	343
z2−55z+		=0
	27

	55		81675		1372
(z−		)2−		+
	2		108		108

	55		80303
(z−		)2−
	2		108

	55		240909
(z−		)2−
	2		324

	495		√240909
(z−		)−(		)2
	18		18

	495−√240909		495+√240909
(z−		)((z−		))
	18		18

	5940−12√240909		5940+12√240909
(z−		)((z−		))
	216		216

	1
y=		(3√5940−12√240909+3√5940+12√240909)
	6

	1
t−2=		(3√5940−12√240909+3√5940+12√240909)
	6

	1
t=		(3√5940−12√240909+3√5940+12√240909+12)
	6

	1
a2=		(63√5940−12√240909+63√5940+12√240909+72)
	36

	1
a=		√63√5940−12√240909+63√5940+12√240909+72
	6

c=−a

	1		7
b=		(−3+a2−		)
	2		a

	1		7
d=		(−3+a2+		)
	2		a

ABC: mówiłem że ciastko z kremem to nie jest

Mila: Pewnie źle przepisane równanie.

Mariusz: ... ale zauważcie że wszystko potrzebne do rozwiązania tego równania ma już w liceum bo zespolone można zastąpić trygonometrią tzn wzorem na cosinus bądź sinus kąta potrojonego który to może być wyprowadzony znając wzór na funkcje trygonometryczne sumy kątów Funkcja odwrotna by się też przydała ale za nie tak odległych czasów gdy chodziłem do szkoły była jeszcze w programie nauczania

Satan: Mariusz, na czym polega metoda, którą stosujesz? Masz może jakiś skrypt do tego? A może jest to szczegółowo opisane w jakiejś książce? Jestem ciekaw

Mariusz: To jest po prostu rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych Tutaj użyłem współczynników nieoznaczonych bo wielomian czwartego stopnia był w postaci x⁴+px²+qx+r=0 Gdyby wyraz z x³ był niezerowy to tzw równanie rozwiązujące jeszcze bardziej by się skomplikowało Ten sposób bywa przypisywany Rene Descartesowi Można też sprowadzać najpierw do różnicy kwadratów jak to pokazałem kiedyś Vaxowi http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf W przypadku równania trzeciego stopnia zakładamy że rozwiązanie jest w postaci sumy dwóch składników a następnie korzystamy z tego że wzór na sześcian sumy ma podobną do rozwiązywanego równania postać co pozwala napisać układ równań porównując współczynniki bądź wstawiając przewidywaną postać rozwiązania do równania i grupując je Układ równań który dostajesz przypomina wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego Może się okazać że równanie kwadratowe które otrzymaliśmy nie ma pierwiastków rzeczywistych Wtedy wygodniejszym i bardziej zrozumiałym dla licealisty sposobem będzie użycie trygonometrii

Satan: Dziękuję, myślę, że na pewno sobie to niebawem przećwiczę i spróbuję opanować

dlaczego: @Mariusz jesli mozna spytac, po jakim wyksztalceniu jestes? bo ja za pol roku ide na studia i nawet nie wyobrazam sobie zeby odwalic cos takiego, nawet za te 4−5 lat juz po studiach

Mariusz: Jeśli chodzi o matematykę to średnie Ledwo skończyłem zaoczny licencjat z informatyki Ledwo bo programowanie kiepsko mi wychodzi Na trójkę starczyło to co wyszukałem w sieci

Mariusz: Chcesz sprawdzić czy zaliczyłbyś tzw kurs C ? https://pl.scribd.com/document/398009250/Zadania-Na-Zaliczenie-Zaj%C4%99%C4%87-z-Przedmiotu-Kurs-C

Mariusz: Jeśli chcecie poćwiczyć rozwiązywanie równań czwartego stopnia to tu jest kod programu losującego współczynniki http://codepad.org/f09sDQ4L