grupy grupy: Udowodnić, że nie istnieje epimorfizm f:G→ H, gdzie (1) G = S₄ i H = S₅ (2) G =(Q, +) i H =(Z, +) (3) G =(Q, +) i H = (Q^*, ⋅)

Adamm: 1) |S₄| = 4! < |S₅| = 5! 2) Jeśli f jest homomorfizmem 2f(x/2) = f(x) 3f(x/3) = f(x) ... nf(x/n) = f(x) stąd n|f(x) dla dowolnego n∊N, a zatem f(x) = 0 dla każdego x 3) istnieje x że f(x) = 2 (f(x/2))² = 2 ⇒ f(x/2) = ±√2 − nie jest wymierne

Adamm: 3) jeśli f(x) = y∊Q, to (f(x/n))ⁿ = y ⇒ f(x/n) = ⁿ√y − może być wymierne dla każdego n tylko gdy y = 1 lub y = 0 ale f(−x)f(x) = f(0) = 1, skąd f(x) ≠ 0 więc jedyny taki homomorfizm to homomorfizm trywialny