Oblicz n-tą pochodną funkcji f(x)=tg(x)
Natalia: Oblicz n−tą pochodną funkcji f(x)=tg(x)
20 sty 23:23
Mariusz:
| | tg(x+Δx)−tg(x) | |
limΔx→0 |
| = |
| | Δx | |
| | | tg(x)+tg(Δx) | |
| −tg(x) | | 1−tg(x)tg(Δx) | |
| |
limΔx→0 |
| = |
| | Δx | |
| | | tg(x)+tg(Δx)−tg(x)+tg(x)2tg(Δx) | |
| | | 1−tg(x)tg(Δx) | |
| |
limΔx→0 |
| = |
| | Δx | |
| | | tg(Δx)+tg(x)2tg(Δx) | |
| | | 1−tg(x)tg(Δx) | |
| |
limΔx→0 |
| |
| | Δx | |
| | tg(Δx)(1+tg(x)2) | |
limΔx→0 |
| = |
| | Δx(1−tg(x)tg(Δx)) | |
| | tg(Δx) | | 1+tg(x)2 | |
limΔx→0 |
| limΔx→0 |
| |
| | Δx | | 1−tg(x)tg(Δx) | |
| | sin(Δx) | | 1 | | 1+tg(x)2 | |
limΔx→0 |
| limΔx→0 |
| limΔx→0 |
| |
| | Δx | | cos(Δx) | | 1−tg(x)tg(Δx) | |
(tg(x))'=1+tg
2(x)
(tg(x))''=2tg(x)(1+tg
2(x))
(tg(x))'''=2(1+tg
2(x))(1+tg
2(x))+2tg(x)(2tg(x)(1+tg
2(x)))
(tg(x))'''=(1+tg
2(x))(2+2tg
2(x)+4tg
2(x))
(tg(x))'''=2(1+tg
2(x))(1+3tg
2(x))
i jakoś nie widać ogólnego wzoru
Gdybyśmy chcieli zastosować wzór Leibniza na pochodną iloczynu
to wprawdzie wiemy ile wynosi pochodna z sin(x)
| | 1 | |
ale problematyczne będzie znalezienie pochodnej z |
| |
| | cos(x) | |
| d | | 1 | | 0*cos(x)−(−sin(x)) | |
| ( |
| )= |
| |
| dx | | cos(x) | | cos2(x) | |
| d | | 1 | | 1 | sin(x) | |
| ( |
| )= |
|
| |
| dx | | cos(x) | | cos(x) | cos(x) | |
21 sty 05:37