Dzielniki nie zerują wielomianu
wojciech adasdas: Co w przypadku gdy dzielniki wyrazu wolnego nie zerują wielomianu? Przykładowo wielomian:
x3 + 6x2 −1=0
Ani 1, ani (−1) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, na czynniki też sie nie rozłoży, x
przed nawias się nie da. Moja licealna wiedza więcej metod rozwiązywania nie zna : )
Co w takiej sytuacji?
19 sty 17:14
Jerzy:
Poczytać na temat rozwiązywania równań trzeciego stopnia.
19 sty 17:18
Mariusz:
Aby rozwiązać to równanie skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia
Pomysł jest taki aby zapisać to równanie w postaci wzorów Vieta dla równania kwadratowego
Najpierw wyzeruj współczynnik przy x
2
(wzory skróconego mnożenia będą tu przydatne)
Następnie wzór na sześcian sumy wygląda tak
(A+B)
3=A
3+3A
2B+3AB
2+B
3
(A+B)
3=A
3+B
3+3AB(A+B)
x
3+6x
2−1=0
(x
3+6x
2+12x+8)−(12x+24)+15=0
(x+2)
3−12(x+2)+15=0
y=x+2
y
3−12y+15=0
y=u+v
y
3=(u+v)
3
y
3=u
3+3u
2v+3uv
2+v
3
y
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
Teraz możesz albo wstawić y=u+v do równania y
3−12y+15=0
albo porównać współczynniki przy wielomianach
y
3=12y−15 oraz y
3=3uvy+u
3+v
3
u
3+v
3=−15
3uv=12
u
3+v
3=−15
uv=4
u
3+v
3=−15
u
3v
3=64
t
2+15t+64=0
Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych
Teraz mamy dwie możliwości
Kontynuować rozwiązywanie równania kwadratowego z użyciem liczb zespolonych
a następnie używasz wzoru de Moivre oraz pierwiastków z jedynki
Druga możliwość to skorzystanie z trygonometrii i wzoru na cosinus kąta potrojonego
cos(x+x)=cos(x)cos(x)−sin(x)sin(x)
cos(2x)=cos
2(x)−sin
2(x)
cos(2x)=cos
2(x)−(1−cos
2(x))
cos(2x)=2cos
2(x)−1
sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
cos(x+2x)=cos(x)cos(2x)−sin(x)sin(2x)
cos(3x)=cos(x)(2cos
2(x)−1)−sin(x)(2sin(x)cos(x))
cos(3x)=cos(x)(2cos
2(x)−1)−2sin
2(x)cos(x)
cos(3x)=cos(x)(2cos
2(x)−1)−2(1−cos
2(x))cos(x)
cos(3x)=2cos
3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos
3(x)
cos(3x)=4cos
3(x)−3cos(x)
y
3−12y+15=0
y
3−12y=−15
y=ucos(θ)
u
2=16
u=4
y=4cos(θ)
y
3−12y=−15
64cos
3(θ)−48cos(θ)=−15
16(4cos
3(θ)−3cos(θ))=−15
| | 1 | | 15 | |
y1=4cos( |
| (π−arccos( |
| ))) |
| | 3 | | 16 | |
| | 1 | | 15 | |
y2=4cos( |
| (3π−arccos( |
| ))) |
| | 3 | | 16 | |
| | 1 | | 15 | |
y3=4cos( |
| (5π−arccos( |
| ))) |
| | 3 | | 16 | |
| | 1 | | 15 | |
x1=4cos( |
| (π−arccos( |
| )))−2 |
| | 3 | | 16 | |
| | 1 | | 15 | |
x2=4cos( |
| (3π−arccos( |
| )))−2 |
| | 3 | | 16 | |
| | 1 | | 15 | |
x3=4cos( |
| (5π−arccos( |
| )))−2 |
| | 3 | | 16 | |
20 sty 07:59
wojciech adasdas: Mariusz dziękuje ci bardzo, zaraz będę analizował przykład. Jeszcze raz wielkie dzięki za
wyjaśnienie i chęci
20 sty 11:05
Mariusz:
Wiesz że możesz ten sposób uogólnić na równanie czwartego stopnia
Gdybyś chciał ten sposób uogólnić na równanie czwartego stopnia to dość ważna jest
tu następująca obserwacja
Zakładasz że rozwiązanie równania trzeciego stopnia jest w postaci sumy dwóch składników
Wiesz także że równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
(nie muszą być one ani różne ani rzeczywiste, ale są dwa)
Sposób z trygonometrią pokazałem ci tylko po to aby ominąć zespolone których możesz nie znać
W przypadku równania czwartego stopnia równanie będziesz starał się sprowadzać
do równania trzeciego stopnia więc rozwiązanie będzie w postaci sumy ... składników
Spróbuj przeanalizować ten przykład a w razie problemów czy wątpliwości pytaj
20 sty 12:48
Eta:
Omg
20 sty 12:56
Mariusz:
W pewnym momencie użyłem funkcji arccos(x)
Dla ciebie wystarczy abyś wiedział że jest to funkcja odwrotna do cos(x)
Uogólnienie tej metody na czwarty stopień będzie jednak wymagało liczb zespolonych
więc jeśli ich nie znasz to wtedy lepszym pomysłem będzie rozkład wielomianu
na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
Będziesz tutaj miał dwie możliwości
1) wymnożyć dwa trójmiany w postaci ogólnej i porównać współczynniki
Gdy się na to zdecydujesz to dobrze jest wcześniej wyzerować współczynnik przy x3
2) sprowadzić wielomian najpierw do różnicy kwadratów
Tutaj jeden kwadrat otrzymujesz korzystając z wzorów skróconego mnożenia
a drugi kwadrat otrzymujesz korzystając z wyróżnika trójmianu kwadratowego
Jakiejkolwiek metody rozwiązywania równań czwartego stopnia nie wymyślisz
to i tak w ogólności będziesz musiał rozwiązać równanie trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia można ominąć jedynie w pewnych szczególnych przypadkach
Tak więc wiedza licealna może nie być wystarczająca aby uogólnić
sposób rozwiązywania równania trzeciego stopnia na równania czwartego stopnia
21 sty 04:50