grupy grupy: Czy istnieje: a) epimorfizm (Q, +) na (R, +) b) epimorfizm (R, +) na (Q, +) c) monomorfizm (Z₈, +₈) w (Z₄, +₄)x(Z₄, +₄) ? Jesli tak wskazac go. Poprosilbym o wskazowki do tego zadania?

Adamm: a) |Q|<|R| b) |R/Q||Q| = |R| ⇒ |R/Q| = |R| gdyby istniał taki epimorfizm, to z twierdzenia o diagramie, istniałby izomorfizm między R/Q a Q, więc |R/Q| = |Q|, a to jest oczywiście fałsz c) Nie, monomorfizm zachowuje rząd

Adamm: b) jest źle

Adamm: b) f − dany epimorfizm z drugiego twierdzenia o izomorfizmie, dla ustalonego x∊R dla S = xQ i N = Ker(f) (SN)/N ~ S/(S∩N) |(SN)/N| = |{Ker(f)}| = 1 więc S = S∩N ⇒ S ⊂ N ⇒ xQ ⊂ Ker(f) więc R = Ker(f), więc f nie jest epimorfizmem, sprzeczność

Adamm: To też nie jest poprawne, spróbuję wymyślić coś innego

Adamm: b) okazuje się że jednak istnieje istnieje baza w R nad Q, oznaczmy ją B (tutaj posługujemy się aksjomatem wyboru) wtedy weźmy f(b) = 1 dla dowolnego b∊B, i dla x∊R zdefiniujmy x = x₁b₁+...+x_nb_n, gdzie b_i∊B i x_i∊Q f(x) = x₁+...+x_n to f jest homomorfizmem, i jest też epimorfizmem, bo f(xb) = x dla x∊Q, b∊B rozwiązanie nie jest moje, ale sam nie mogłem nic wymyślić

grupy: a) Załozmy, ze istnieje taki epimorfizm f: (Q, +)→(R, +). Jaka mozna podac funkcje?

Adamm: |Q| < |R| oznacza że nie istnieje funkcja z Q na R, w szczegolnosci epimorfizm

grupy: Dziekuje