funkcja tworząca micxd: Konstruując odpowiednią funkcję tworzącą, rozwiąż rekurencje. { 1 dla n=0 an={ 0 dla n=1 { a_n−1 −2*a_n−2 −1 dla n≥2 nie rozumiem tych funkcji tworzących, potrzebuje pomocy

Mila: Jutro, ale może Mariusz będzie dzisiaj to napisze.

Mariusz: Funkcja tworząca która tutaj najlepiej pasuje to A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Dla ciągu jedynek daje ona szereg geometryczny Jeśli nie znasz uogólnionego dwumianu Newtona to czasem przydatne będzie różniczkowanie szeregu geometrycznego Twoja rekurencja zachodzi od dla n≥2 więc sumujesz od n=2 do ∞ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−1xⁿ−∑_n=2^∞2a_n−2xⁿ−∑_n=2^∞xⁿ Przesuwamy indeksy sumowania do n=0

	x2
∑n=2∞anxn=x(∑n=2∞an−1xn−1)−2x2(∑n=2∞an−2xn−2)−
	1−x

	x2
∑n=2∞anxn=x(∑n=1∞anxn)−2x2(∑n=0∞anxn)−
	1−x

	x2
∑n=0∞anxn−1−0x=x(∑n=0∞anxn−1)−2x2(∑n=0∞anxn)−
	1−x

	x2
A(x)−1=x(A(x)−1)−2x2A(x)−
	1−x

	x2
A(x)−xA(x)+2x2A(x)=1−x−
	1−x

	(1−x)2−x2
A(x)(1−x+2x2)=
	1−x

	1−2x
A(x)(1−x+2x2)=
	1−x

	1−2x
A(x)=
	(1−x+2x2)(1−x)

1−2x		A		B		C
	=		+		+
(1−x+2x2)(1−x)		1−λ1x		1−λ2x		1−λ3x

A(1−λ₂x)(1−λ₃x)+B(1−λ₁x)(1−λ₃x)+C(1−λ₁x)(1−λ₂x)=1−2x A(1−(λ₂+λ₃)x+λ₂λ₃x²)+B(1−(λ₁+λ₃)x+λ₁λ₃x²) +C(1−(λ₁+λ₂)x+λ₁λ₂x²) A + B + C = 1 (λ₂+λ₃)A+(λ₁+λ₃)B+(λ₁+λ₂)C=2 λ₂λ₃A+λ₁λ₃B+λ₁λ₂C=0 Rozwiązujesz układ równań chociażby licząc macierz odwrotną i mnożąc lewostronnie przez nią równanie macierzowe AX=B

	1		7
1−x+2x2=(1−		x)2+		x2
	2		4

	1		√7i		1		√7i
1−x+2x2=(1−		x−		x)(1−		x+		x)
	2		2		2		2

	1+√7i		1−√7i
1−x+2x2=(1−		x)(1−		x)
	2		2

czyli np λ₁=1

	1+√7i
λ2=
	2

	1−√7i
λ3=
	2

Rozwiązanie układu równań dla tak przyjętych λ to

	1
A=−
	2

	1
B=		(21+√7i)
	28

	1
C=		(21−√7i)
	28

Mamy zatem

	1		1		1+√7i
A(x)=−		∑n=0nxn+		(21+√7i)∑n=0n(		)nxn
	2		28		2

	1		1−√7i
+		(21−√7i)∑n=0n(		)nxn
	28		2

	1		1		1+√7i		1		1−√7i
an=−		+		(21+√7i)(		)n+		(21−√7i)(		)n
	2		28		2		28		2

Można jeszcze przejść na postać trygonometryczną i wykonać na niej potrzebne mnożenia i potęgowania θ₁=arctan(√7) θ₂=−θ₁

	√7
φ1=arctan(		)
	21

φ₂=−φ₁

2√7
	(cos(φ1)+isin(φ1))√2n(cos(nθ1)+isin(nθ1))
7

2√7
	(√2)n(cos(nθ1+φ1)+isin(nθ1+φ1))
7

	2√7
+		(√2)n(cos(nθ2+φ2)+isin(nθ2+φ2))
	7

2√7
	(√2)n(cos(nθ1+φ1)+isin(nθ1+φ1))
7

	2√7
+		(√2)n(cos(−nθ1−φ1)+isin(−nθ1−φ1))
	7

2√7
	(√2)n(cos(nθ1+φ1)+isin(nθ1+φ1))
7

	2√7
+		(√2)n(cos(−(nθ1+φ1))+isin(−(nθ1+φ1)))
	7

2√7
	(√2)n(cos(nθ1+φ1)+isin(nθ1+φ1))
7

	2√7
+		(√2)n(cos(nθ1+φ1)−isin(nθ1+φ1))
	7

	1		4√7
an=−		+		(√2)ncos(nθ+φ)
	2		7

gdzie θ=arctan(√7)

	√7
φ=arctan(		)
	21

Mariusz: Gdyby na stronie był jakiś tex to może bym rozwiązał ten układ z wykorzystaniem macierzy odwrotnej a tak bez texa to kiepsko zwłaszcza jeśli chodzi o algebrę liniową

Mila: Chyba coś w treści pokręcił mix, bo bardzo skomplikowany wzór tego ciągu. Bardzo się napracowałeś Mariusz.