Suma Surykatek: Jak obliczyć sumę n ∑(k−1) k=1

Jerzy: Prosto: = 0 + 1 + 2 + .......+ ( n − 1)

Surykatek: Rozumiem notację sigma, chciałbym zrozumieć wynik:

n(n−1)
2

wredulus_pospolitus: zauważ, ze jest to ciąg arytmetyczny o a₁ = 0 i r = 1 wzór na S_n ciągu arytmetycznego (gimnazjum się kłania)

Jerzy: Poczytaj na temat sumy ciągu arytmetycznego.Tutaj masz: a₁ = 0 i r = 1.

Surykatek: Już mam! Wynika z przesunięcia granic sumowania. n−1 ∑k k=0 Dla n

	n(n+1)
∑k =
	2

k=0

Jerzy: Bez żadnego przesuwania:

	0 + (n − 1)
S =		*n
	2

Mariusz: Możesz też zamienić sumę na równanie rekurencyjne i rozwiązać je funkcją tworzącą a₀=0 a_n=a_n−1+n−1

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=0∞nxn−1=
	(1−x)2

	x
∑n=0∞nxn=
	(1−x)2

	x		1
∑n=0∞nxn−∑n=0∞xn=		−
	(1−x)2		1−x

	x−(1−x)
∑n=0∞nxn−∑n=0∞xn=
	(1−x)2

	2x−1
∑n=0∞nxn−∑n=0∞xn=
	(1−x)2

A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(n−1)x^∞ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=1^∞(n−1)x^∞ ∑_n=0^∞a_nxⁿ−0=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+∑_n=0^∞(n−1)x^∞−(−1)

	2x−1
∑n=0∞anxn=x((∑n=0∞anxn))+1+
	(1−x)2

	(1−2x+x2)+2x−1
A(x)(1−x)=
	(1−x)2

	x2
A(x)(1−x)=
	(1−x)2

	x2
A(x)=
	(1−x)3

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=0∞nxn−1=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞nxn−1)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
(∑n=0∞n(n−1)xn−2)=		(−1)
	(1−x)3

	2x2
∑n=0∞n(n−1)xn=
	(1−x)3

	1
A(x)=∑n=0∞		n(n−1)xn
	2

	1
an=		n(n−1)
	2