rekurencja xkas: Wyznaczyć rozwianie równania rekurencyjnego a_n=a_n−2+4n o warunkach początkowych a₀=1, a₁=4.

wredulus_pospolitus: a_n = 4n + a_n−2 = 4n + 4(n−2) + a_n−4 = 4n + 4(n−2) + 4(n−4) + a_n−6 =

	⎧	4(n + (n−2) + .... + 2) + a0 , dla n = 2k
=	⎩	4(n + (n−2) + .... + 3) + a1, dla n=2k−1

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=0∞nxn−1=
	(1−x)2

	x
∑n=0∞nxn=
	(1−x)2

∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−2xⁿ+∑_n=2^∞4nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²)+∑_n=2^∞4nxⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−4x=x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+∑_n=0^∞4nxⁿ−4x

	4x
A(x)−1=x2A(x)+
	(1−x)2

	4x
A(x)(1−x2)=1+
	(1−x)2

	1+2x+x2
A(x)(1−x2)=
	(1−x)2

	1+2x+x2
A(x)=
	(1−x2)(1−x)2

	1+x
A(x)=
	(1−x)3

	−1+x+2
A(x)=
	(1−x)3

	−1		2
A(x)=		+
	(1−x)2		(1−x)3

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=0∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
∑n=0∞n(n+1)xn−1=		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=0∞n(n+1)xn−1=
	(1−x)3

	2
∑n=1∞n(n+1)xn−1=
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+1)(n+2)xn=
	(1−x)3

	−1		2
A(x)=		+
	(1−x)2		(1−x)3

A(x)=∑_n=0^∞−(n+1)xⁿ+∑_n=0^∞(n+1)(n+2)xⁿ a_n=−(n+1)+(n+1)(n+2) a_n=(n+1)(n+2−1) a_n=(n+1)²