algebra studia: Które z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 1 + i, 2 + i, 3 + i, 4 + i, 5 + i sa nierozkladalne w pierscieniu Z[i]? Element nierozkladalny to element nieodwracalny, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych

wredulus_pospolitus: jak możesz to przypomnij czym jest pierścień Z[i]

studia: To pierscien Gaussa Z[i]={a+bi: a, b∊Z}.

Hshhzhhhx: →imnmjmj

studia: ?

studia: Czyli element odwracalny nie moze byc nierozkladalny. 1 jest elementem odwracalnym w Z[i], wiec nie jest elementem nierozkladalnym.

studia: Jak postepowac z kolejnymi liczbami? Mozna poprosic o przyklad?

ABC: na przykład 5=(1+2i)(1−2i)

Bleee: Ogólnie sprawdzasz czy dana liczbę można przedstawić w postaci (a +bi)(c + di) = ab − cd +(ad +bc)i Gdzie a, b, c, d są calkowite

jc: Może się przydać też taki fakt: Jeśli w=u*w, to |w|² = |u|² |v|². Ile może wynosić |u|²? Przykład: (4+i)²=17 jedna z liczb musiałaby mieć moduł = 1, ale wtedy byłaby elementem odwracalnym (1,−1,i,−i). Wniosek, to jest element nierozkładalny. |1+i|²= 2, nierozkładalna. |2+i|²= 5, nierozkładalna |3+i|²=10, nie wiadomo |5+i|=26, nie wiadomo No, ale wykluczyliśmy 3 liczby, ale mamy pewne podpowiedzi. (1+i)(2−i)=3+i, rozkładalna

studia: Czyli jak modul jest liczba pierwsza to ta liczba jest nierozkladalna.

studia: |4+i|²=4²+i²=16−1=15 to czemu tam jest 17?

ABC: |a+bi| =√a²+b² jest to konsekwencja tw. Pitagorasa mądrze mówiąc

studia: 2=(1−i)(1+i), rozkladalna 3=(−3i)(i), i odwracalne, wiec 3 jest nierozkladalna ,ale tak samo moge zrobic z 2 i wyjdzie, ze jest nierozkladalna Co jest nie tak?

studia: Pozostale: 4=(1−i)(2+2i), rozkladalna (5+i)=(1+i)(3−2i), rozkladalna 3²=9=3*3=1*9 Nie wiem jak rozpisac 3.

studia: Ale jak kwadrat nie jest liczba pierwsza, to chyba nie mozna rozpisac jako *1?

studia: Jak bedzie z 3?

jc: Rozkład na 1*9 nas nie interesuje, bo liczby o module 1 to liczby odwracalne. Rozkład 3*3 jest niemożliwy, bo 3 nie jest sumą kwadratów. 0²+1² za mało 1²+1² za mało 0²+2² za dużo

studia: Czyli ten fakt z modulem w 3 sie nie przyda.

studia: Ja zrobilbym tak: 3=(−3i)(i), i odwracalne, wiec 3 jest nierozkladalna. Dobrze?

jc: Masz 4 elementy o module 1: 1, −1, i, −i, ale to są elementy odwracalne. Skasowałem niechcący wniosek. 3 jest nierozkładalne, bo gdyby było, to odpowiednie czynniki musiały mieć kwadrat modułu równy 3, a 3 nie jest sumą kwadratów. Co nam jeszcze rozstało?

studia: To juz wszystkie liczby. Dziekuje.

jc: 4=2*2, rozkładalna.