Zbadaj liniową niezależność takitrzeci: Zbadaj liniową niezależność dla (1,sinx,cosx) Patrzę w definicję liniowej niezależności: (∀x1,x2, ...)(∀a1,a2, ...)(a1x1+a2x2+...+anxn=0 ⇒ a1=a2=...=0) Zatem, aby zaprzeczyć liniowej niezależności należy pokazać, że (∃x1,x2, ...)(∃a1,a2, ...)(a1x1+a2x2+...+anxn=0 ⋀ ¬(a1=a2=...=0) )

	π
Zatem dla x=		otrzymamy a1*1+a2*1+a3*0=0, więc a1=−a2 oraz a3 może być dowolne, zatem
	2

(∃a1,a2, a3)¬(a1=a2=a3=0) Jak jednak znalazłem, powinna wyjść liniowa niezależność, zatem gdzie popełniam błąd?

Łakamakafą: Podbijam

ABC: nie rozumiesz że w tym zadaniu wektory są funkcjami, a równość funkcji to co innego niż równość liczb , to twój błąd

Łakamakafą: Zatem ogólny sposób (definicja) dowodzenie wygląda inaczej gdy wektorami są funkcję? Nalezy znalezc a1, a2 i x gdy te wektory−funkcje się różnią? Czyli innymi slowy takie x, że a1+a2sinx+a3cosx=0 tylko gdy a1,a2,a3=0?

Adamm: ta twoja definicja liniowej niezależności jest wadliwa...

Adamm: w przestrzeni liniowej V nad K, mówimy że wektory x₁, ..., x_n∊V są liniowo niezależne, jeśli dla dowolnych a₁, ..., a_n z naszego ciała K a₁x₁+...+a_nx_n = 0_V ⇒ a₁, ..., a_n = 0_K tutaj K to po prostu ciało liczb rzeczywistych, a V to przestrzeń funkcji z R w R, z dołączonymi działaniami dodawania tak jak dodawanie funkcji, i mnożenie przez skalar, tak jak mnożenie funkcji przez liczbę a₁*1+a₂*sin(x)+a₃*cos(x) = 0 tutaj przez równość rozumiemy równość funkcji, to jest, równość zachodzi dla dowolnego x żeby wykazać liniową niezależność, wystarczy obrać konkretne iksy po podstawieniu x = π/2, x = −π/2, x = 0, dostaniemy a₁+a₂ = 0 a₁−a₂ = 0 a₁+a₃ = 0 ⇒ a₁, a₂, a₃ = 0 więc wektory te są niezależne liniowo

takitrzeci: Nie rozumiem dlaczego "żeby wykazać liniową niezależność, wystarczy obrać konkretne iksy" skoro dla jedych iksów dojdziemy do tego że a1,a2,a1=0 (tak jak jest przykład powyżej), ale dla innych x (np. x π/2) dostaniemy, że alfa nie musi być równa zero, a wyrażenia się zerują.

Adamm: nie może tak wyjść

takitrzeci: a1+a2sinx+a3cosx=0 dla x=π/2 a1+a2*1+a3*0=0, dla a1=−1, a2=1 i a3 dowolnego.

Adamm: dla każdego x tak ma być, nie tylko dla x = π/2

ABC: mówiłem już że on nie rozumie co to znaczy że kombinacja liniowa funkcji jest tożsamościowo równa zeru

takitrzeci: Niestety chyba dalej nie jest to dla mnie jasne, konkretnie nie zgrywa mi się to z definicją liniowej niezależności

ABC: pokazać ci układ funkcji który jest naprawdę liniowo zależny ? (1,sin²x, cos²x) −1*1+1*sin²x+1*cos²x=0 dla każdego x∊R

takitrzeci: analogicznie mogę pokazać układ funkcji który także według mojej "logiki" jest liniowo niezależny: (1,x+1,x+3) Nie zmienia to istoty udowadniania mniej trywialnych przykładów

ABC: układ który podałeś jest liniowo zależny 2*1+1*(x+1)+(−1)*(x+3)=0 dla każdego x∊R