pierwiastki wielomianu
pomocy: Potrzebuje pomocy z tym zadaniem mógłby mi ktoś je wytłumaczyć jak dla początkującego prosze?
Wykaż, że wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu znajdują się w przedziale (−2;1)
w(x)=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x−7
15 sty 20:46
PW: Jest oczywiste, że dla x≥1
w(x) ≥ 1+2+3+4+5+6−7 = 14, a więc nie ma pierwiastków w przedziale <1, ∞).
To łatwe, a co dla x≤−2?
15 sty 21:53
wredulus_pospolitus:
x6 + 2x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2 + 6x − 7 =
= x5(x+1) + x4(x + 1) + 2x3(x+1) + 2x2(x+1) + 3x(x + 1) + 3(x+1) − 10 =
= (x+1)[ x4(x+1) + 2x2(x+1) + 3(x+1)] − 10 =
= (x+1)2(x4 + 2x2 + 3) − 10 =
= (x+1)2(x2 + 3)(x2−1) − 10 =
= (x+1)3(x−1)(x2+3) − 10
i teraz zauważamy, że dla dowolnego x < −2:
(x+1)3 < −1
(x−1) < −3
(x2+3) > 7
czyli w(x) > 21 − 10 = 11 dla dowolnego x< −2
15 sty 21:58
wredulus_pospolitus:
ergo ... jeżeli jest jakiś x0 taki, że w(xo) = 0 to musi on być w przedziale (−2;1)
PS. nierówności ≤ postawiaj
15 sty 21:59
wredulus_pospolitus:
dałem ciała
x
4 + 2x
2 + 3 > 0 dla dowolnego 'x'
... no przecież
więc masz w(x) = (x+1)
2(x
4 + 2x
2 + 3) − 10
i dla x≤−2
w(x) ≥ 1*(16+8+3) − 10 > 0
15 sty 22:04
PW: O, w tym przedstawieniu
w(x) = (x+1)
2(x
4 + 2x
2 + 3) − 10
jest iskra Boża, bo nie wiadmo jak wytłumaczyć dlaczego w ten sposób, a działa
15 sty 22:14
wredulus_pospolitus:
PW ... powiem więcej ... ja nie jestem w stanie powiedzieć dlaczego w ten sposób robiłem ... po
prostu stwierdziłem, ze 'coś trzeba zrobić' to sobie wyłączyłem co się dało, żeby zejść z
potęgami
... i bach ... wyszło
15 sty 22:25
ICSP: Można policzyć pochodną.
Po wyłączeniu (x+1) przed nawias w drugim nawiasie dostaniemy równanie zwrotne IV stopnia.
Po rozwiązaniu okaże się, że jedynym pierwiastkiem pochodnej jest x = − 1
Dlatego funkcja maleje w przedziale (− ∞ ; −1) i rośnie w przedziale od (−1 ; ∞)
Wystarczy policzyć w(1) oraz w(−2)
15 sty 22:40