matematykaszkolna.pl
buble Edek: Dwa przykłady całek:
 x+1 
a) ∫
dx
 (x2+4x+5)2 
 −x3+2x 
b) ∫
dx
 (x2+4)(x2+1)2 
16 lut 20:41
Basia: x2+4x+5=(x+2)2+1
 x+1 
I=∫
dx =
 [(x+2)2+1]2 
16 lut 21:30
Basia: sorry zaraz będzie dalej
16 lut 21:30
Basia:
 x+2−1 
=∫
dx =
 [(x+2)2+1]2 
 x+2 1 
∫
dx−∫
dx
 [(x+2)2+1]2 [(x+2)2+1]2 
 x+2 
I1=∫
dx
 [(x+2)2+1]2 
t=(x+2)2 dt = 2(x+2)dx
 dt 
(x+2)dx =
 2 
 dt 1 dt 
I1=∫
dt =
∫
 2(t+1)2 2 (t+1)2 
u=t+1 du=dt
 1 du 1 1u−1 1 
I1=
∫
=
∫u−2du =
= −
=
 2 u2 2 2−1 2u 
 1 1 1 
−
= −
= −
 2(t+1) 2[(x+2)2+1] 2(x2+4x+5) 
 1 
I2=∫
dx
 [(x+2)2+1]2 
t=x+2 dt=dx
 1 
I2 = ∫
dt = arctgt = arctg(x+2)
 t2+1 
 1 
I= −
−arctg(x+2) + C
 2(x2+4x+5) 
sprawdź, bo mogłam się pomylić
16 lut 21:49
Mickej: Pięknie rozbrojona całkaemotka
16 lut 22:22
Mickej: Ale chyba przy I2 jest błąd bo po podstawieniu t=x+2 otrzymamy
1 1 
=
(t+1)2 t2+2t+1 
zgubiłaś kwadrat chybaemotka
16 lut 22:29
Basia: ta druga to całkowanie funkcji wymiernych strasznie dużo pisania idea jest taka
−x3+2x 
=
(x2+4)(x2+1)2 
Ax+B Cx+D Ex+F 
+
+
x2+4 (x2+1)2 x2+1 
(Ax+B)(x2+1)2 + (Cx+D)(x2+4) + (Ex+F)(x2+1)(x2+4) = −x3+2x (Ax+B)(x4+2x2+1) + (Cx+D)(x2+4) + (Ex+F)(x4+5x2+4)=−x3+2x Ax5+Ex5+ Bx4+Fx4+ 2Ax3+Cx3+5Ex3+ 2Bx2+Dx2+5Fx2+ Ax+4Cx+4Ex+ B+4D+4F = −x3+2x A+E=0 B+F=0 2A+C+5E=−1 2B+D+5F=0 A+4C+4E=2 B+4D+4F=0 (1)(3)(5) E=−A 2A+C−5A=−1 A+4C−4A=2 −3A+C=−1 −3A+4C=2 /*(−1) −3A+C=−1 3A−4C=−2 −−−−−−−−−−−−−−−−−− −3C=−3 C=1 −3A+1=−1 −3A=−2 A=u{2}{3 E=−23 (2)(4)(6) F=−B 2B+D−5B=0 B+4D−4B=0 −3B+D=0 /*(−1) −3B+4D=0 3B−D=0 −3B+4D=0 −−−−−−−−−−−−−−−−− 3D=0 D=0 −3B=0 B=0 F=0
x3+2x 
=
(x2+4)(x2+1)2 
23x x −23x 
+
+
x2+4 (x2+1)2 x2+1 
 x3+2x 
∫
dx =
 (x2+4)(x2+1)2 
 23x 
∫
dx +
 x2+4 
 x 
∫
dx +
 (x2+1)2 
 −23x 
∫
=
 x2+1 
 2x 
13∫
dx +
 x2+4 
12∫U{2x}{(x2+1)2 dx −
 2x 
13∫
dx
 x2+1 
 2x 
I1= ∫
dx
 x2+4 
t=x2+4 dt = 2xdx
 dt 
I1=∫
=ln|t|+C1 = ln|x2+4}+C1 = ln(x2+4)+C1
 t 
I2 = ∫U{2x}{(x2+1)2 dx t=x2+1 dt = 2xdx
 dt 1 1 
I2=∫
= −
+C2 = −
+C2
 t2 t x2+1 
 2x 
I3 = ∫
dx
 x2+1 
t=x2+1 dt = 2xdx
 dt 
I3 = ∫
= ln|t|+C3 = ln|x2+1|+C3 = ln(x2+1)+C3
 t 
 1 
I = 13*ln(x2+4)+12*( −
)−13* ln(x2+1) =
 x2+1 
 1 x2+4 
−
+13*ln
+ C
 2(x2+1) x2+1 
16 lut 22:44
Basia: ad.1 masz rację Mickej, i tę I2 trzeba będzie liczyć inaczej, albo w ogóle od początku liczyć inaczej
16 lut 22:52
Basia:
 1 
I2 = ∫
 (1+t2)2 
liczy się tak
 t2+1−t2 
= ∫
dt =
 (1+t2)2 
 1+t2 t2 
∫
dt − ∫
dt =
 (1+t2)2 (t2+1)2 
 1 t 
∫
dt − ∫t*
dt =
 t2+1 (t2+1)2 
arctg|t|−I3 I3 całkujemy przez części f(t) = t f'(t)=1
 t 1 1 
g'(t) =
g(t) = −
*
 (t2+1)2 2 t2+1 
 t 1 1 
I3 = −
+
∫
dt =
 t2+1 2 t2+1 
 t 1 
−
+
arctg|t|
 t2+1 2 
co ostatecznie daje
 1 t 
I2=
arctg|t|+
 2 t2+1 
16 lut 23:18
Edek: Baśka naprawdę WIELKIE POWDZIĘKOWANIA i ukłony, że wogóle chciało ci się tak rozpisywać emotka Zaraz to przeanalizuję, ale naprawdę bardzo Ci dziękuję
17 lut 09:14
AS: Korekta do podanego obliczenia przez Basię drugiej całki w zadaniu 1 (ach to roztargnienie)
 dx dx 
J = ∫
= ∫
 (x2 + 4*x + 5)2 ((x + 2)2 + 1)2 
Podstawienie: x + 2 = t dx = dt
 dt t2 + 1 − t2 
J = ∫
= ∫
dt
 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 
 dt t2dt t2dt 
J = ∫
− ∫
= arctg(t) − ∫
 t2 + 1 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 
J = arctg(t) − J1 gdzie
 t2dt tdt 
J1 = ∫
= ∫t*
 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 
Całkowanie przez części
 tdt 
u = t dv =
 (t2 + 1)2 
 tdt −1 
du = dt v = ∫
=
 (t2 + 1)2 2*(t2 + 1) 
 −t −1 
J1 =
− ∫
dt =
 2*(t2 + 1) 2*(t2 + 1) 
 −t 1 dt −t 1 
J1 =
+
∫
=
+
*arctg(t)
 2*(t2 + 1) 2 t2 + 1 2*(t2 + 1) 2 
 −t 1 
J = arctg(t) − (
+
*arctg(t))
 2*(t2 + 1) 2 
 t 1 
J =
+
*arctrg(t)
 2*(t2 + 1) 2 
Wracając do zmiennej x
 x + 2 1 
J =
+
*arctg(x + 2)
 2*(x2 + 4*x + 5) 2 
17 lut 11:16
Edek: dzięki AS, mam jeszcze małą prośbę, napiszę pełne swoje rozwiązanie i proszę o pomoc, bo gdzieś jest błąd, a nie wiem gdzie, a powoli naprawdę szału dostaje emotka
17 lut 11:47
Edek:
 x+1 1 2x+2 
∫
dx =
∫
dx =
 (x2+4x+5)2 2 (x2+4x+5)2 
 1 2x+4−2 
=
∫
dx =
 2 (x2+4x+5)2 
 1 2x+4 dx 
=
∫
dx − ∫
=
 2 (x2+4x+5)2 (x2+4x+5)2 
 dt 
t=x2+4x+5 ,
=2x+4 , dt=(2x+4)dx
 dx 
 1 dt dx 
=
∫
− ∫
=
 2 t2 ((x+2)2+1)2 
 −1 dx 
=
− ∫
=
 2(x2+4x+5) ((x+2)2+1)2 
dobra teraz zajmuję się całką
 dx 
∫
=
 ((x+2)2+1)2 
 dt 
t=x+2 ,
=1, dt=dx
 dx 
 dt t2+1−t2 
∫
= ∫
dt =
 (t2+1)2 (t2+1)2 
 t2+1 t2 
= ∫
dt − ∫
dt =
 (t2+1)2 (t2+1)2 
 dt t2 t 
= ∫
− ∫
dt = arctg(t) − ∫ t*
dt =
 t2+1 (t2+1)2 (t2+1)2 
 t −1 
= arctg(x+2) − ∫ t*
dt = arctg(x+2) − ∫ t*(
)' dt =
 (t2+1)2 2(t2+1) 
 t −1 
f'(t)=
, f(t)=
, g(t)=t, g'(t)=1
 (t2+1)2 2(t2+1) 
 t 1 dt 
= arctg(x+2) +
−
∫
=
 2(t2+1) 2 t2+1 
 x+2 1 
= arctg(x+2) +
−
arctg(t) =
 2((x+2)2+1) 2 
 x+2 1 
= arctg(x+2) +
−
arctg(x+2) =
 2(x2+4x+5) 2 
 1 x+2 
=
arctg(x+2) +
 2 2(x2+4x+5) 
dobra, więc podstawiam to do początku
 −1 1 x+2 
=
−
arctg(x+2) −
=
 2(x2+4x+5) 2 2(x2+4x+5) 
 1 x+3 
= −
arctg(x+2) −
 2 2(x2+4x+5) 
powstał mi taki oto badziewiak, a więc sprawdzam go:
 1 x+3 
(−
arctg(x+2) −
)' =
 2 2(x2+4x+5) 
 −1 1 2(x2+4x+5)−2(x+3)(2x+4) 
=
*
−
=
 2 1+(x+2)2 4(x2+4x+5)2 
 −1 x2+4x+5−(2x2+4x+6x+12) 
=
−
=
 2(x2+4x+5) 2(x2+4x+5)2 
 −x2−4x−5 x2+4x+5−2x2−10x−12 
=
−
=
 2(x2+4x+5)2 2(x2+4x+5)2 
 −x2−4x−5 −x2−6x−7 
=
−
=
 2(x2+4x+5)2 2(x2+4x+5)2 
 −x2−4x−5+x2+6x+7 
=
=
 2(x2+4x+5)2 
 2x+2 x+1 
=
=
 2(x2+4x+5)2 (x2+4x+5)2 
,ach no dobra po prostu wcześniej, źle obliczyłem tą pochodną, bo wyszło mi −x+1 emotka, ach... Dobra Wielkie dzięki jeszcze raz dla Basi, Mickej'a oraz AS'a naprawdę pomogliście mi i to bardzo emotka
17 lut 12:14
AS: Nie zapominaj na końcu całki końcowej dopisywać + C (stała)
17 lut 12:49