udowownicz liczba podzielna przez 2003 uczesie123: Udowodnić, że liczba (1+¹₂+{1}{3}+...+{1}{2002}*1*2*3*...*2002 jest podzielna przez 2003. Pomocy jak to zroicbc

uczesie123: zle przepisalem sorki Udowodnić, że liczba (1+¹₂+¹₃+...+¹₂₀₀₂)*1*2*3*...*2002 jest podzielna przez 2003.

Adamm: p = 2003 − liczba pierwsza, p>2 z tw. Wilsona

	(p−1)!
∑k=1p−1		≡ ∑k=1p−1 (p−1)!k−1 ≡ −∑k=1p−1 k−1 (mod p)
	k

twierdzenie (Z_p\{0}, *) jest grupą cykliczną zatem stąd od razu k⁻¹, k∊{1, ..., p−1} są wszystkie różne, należą do Z_p\{0}

	p(p−1)
−∑k=1p−1 k−1 = −∑k=1p−1 k = −		= 0 (mod p)
	2

uczesie123: co oznacza? "twierdzenie (Zp\{0}, *) jest grupą cykliczną"

uczesie123: i skąd wiadomo, że 2003 jest pierwsza?

Adamm: https://math.stackexchange.com/a/1113402/476484 tutaj jest ładnie wyjaśnione dlaczego (Z_p\{0}, *) jest cykliczna 2003 jest pierwsza, bo ma 2 dzielniki

uczesie123: No tak ale skąd pewność, że ma dokładnie 2 dzielniki a nie składa sie np z 2 liczb pierwszych?

Adamm: √2003 ≈ 44,7 jeśli ma jakiś dzielnik, to musi być podzielne przez jakąś liczbę < 45 zatem przez jedną z liczb 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ale się nie dzieli

uczesie123: ok to rozumiem już czemu jest pierwsza teraz musze rozkminic o co chodzi z tym wzorem bo jakos kosmicznie wyglada

uczesie123: patrze na to 20minut i dalej nie rozumiem tej podpowiedzi za slaby jestem

ICSP:

	1		1
1 +		+ ... +		=
	2		2012

	1		1		1		1		1		1		1
= 1 +		+		+		+		+		+ ... +		+
	2012		2		2011		3		2010		1006		1007

=

	2013		2013		2013		2013
=		+		+		+ ... +		=
	2012		2*2011		2010*3		1006*1007

	1		1		1
= 2013[		+		+ ... +		]
	2012		2*2011		1006*1007