Logarytmy Taki ja: Udowodnij, że jeśli log₂ a + log₂ b + 2 = log₂ ( 4a² + b² ) a>0 ⋀ b>0, to a/2 = 1/2.

PW: Na pewno źle przepisane zadanie. Kto formułuje tezę w postaci "a/2=1/2"? Spróbujmy rozwiązać czyli wyciągnąć wnioski z założenia. log₂a + log₂b + log₂4 = log₂4ab, a więc równość podana w założeniu jest równoważna równości log₂4ab = log₂(4a²+b²), skąd na podstawie różnowartościowości funkcji logarytmicznej 4ab = 4a² + b². (2a−b)² = 0 2a−b = 0 b = 2a. Taki jest właściwy wniosek z podanych założeń. Po podstawieniu tego do badanego równania dostajemy log₂a+log₂2a+log₂4 = log₂(4a²+4a²) log₂a•2a•4 = log₂8a². Jest to równość prawdziwa dla każdego "a".

Mila: log₂ a + log₂ b + 2 = log₂ ( 4a² + b² )⇔ log₂(a*b)+log₂(2²)=log₂ ( 4a² + b² )⇔ log₂(4ab)=log₂ ( 4a² + b² )⇔ 4a²+b²=4ab 4a²−4ab+b²=0 (2a−b)²=0 2a=b