funkcja mat: Funkcja liniowa f spełnia warunki f(1)=2019 i f(2019)=1 Wykaż,że f(3)−2=f(5)

PW: Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x) = ax + b, a więc dla n∊N f(n) = an + b. Wynika stąd, że dla k∊N f(k+1) − f(k) = a(k+1) + b − ak − b = a, co oznacza że ciąg o wyrazach f(n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy a. W ciągu arytmetycznym o różnicy a f(2019)=f(1)+2018a, co po zastosowaniu założeń daje 1 = 2019+2018a, skąd a = −1. f(5) = f(3)+2a, a więc f(5) = f(3) + 2(−1) f(5) = f(3) − 2, cbdo..

Eta: f(1)=2019 i f(2019)=1 to x+y=1+2019 ⇒ y=f(x)= −x+2020 to f(3)−2 = −3+2020−2= 2015 f(5)= −5+2020=2015 c.n.w.

Eta: Można też tak : f(1)=2019 A(1,2019) i f(2019)=1 B(2019, 1)

	2019−1
y= a(x−xA)+yA gdzie a=		= −1
	1−2019

y= −(x−1)+2019 y=f(x)= −x+2020 i dalej jak podałam

jc: Punkty (1,2019), (2019,1) wyznaczają prostą x+y=2020. 3+f(3)=5+f(5), a więc f(3)−2=f(5).

Eta:

Pytanie: Takie pytanie: skąd wniosek, że x+y = 1 + 2019? Dlaczego to daje sumę wartości funkcji w dwóch punktach?

ABC: przez punkty (1,2019) i (2019,1) przechodzi dokładnie jedna prosta, a x+y=2020 jest równaniem prostej, taki był tu chyba tok rozumowania

Pytanie: No tak, dwa punkty jednoznacznie wyznaczają prostą, ale chciałbym wiedzieć w jaki sposób wyznaczono równanie na podstawie znajomości wartości w dwóch punktach.

ABC: cytuję treść "funkcja liniowa f spełnia warunki ..." , co jest wykresem funkcji liniowej?

PW: Eta zastosowała "sztuczkę". której raczej nie uczą w szkołach. My na forum możemy się uczyć od Ety Jeżeli mamy dwa punkty prostej: (x₁, y₁) oraz (x₂, y₂) i tak się składa, że x₁+y₁=s i x₂+y₂=s dla pewnej liczby rzeczywistej s, to y₁=−x₁+s y₂=−x₂+s, a więc współrzędne obu punktów spełniają równanie (1) y = −x + s − jest to równanie prostej, a wszystkie inne punkty tej prostej też spełniają równanie (1), bo przez każde dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta (jest tylko jedno równanie ogólne opisujące prostą przechodzącą przez dwa punkty). Na tej zasadzie równanie prostej przechodzącej przez punkty (7, 11) i (3, 15) ma równanie y = −x +18 (bo dla obu punktów x+y=18: 7+11=18 i 3+15=18)