Pokaż, że arcsinh x ≤ arcsin x dla 0 ≤ x ≤ 1 Natalia: Pokaż, że arcsinh x ≤ arcsin x dla 0 ≤ x ≤ 1

Adamm:

	1		1
(arcsin(x)−arsinh(x))' =		−		=
	√1−x2		√1+x2

√1+x2−√1−x2
	>0
√1+x2√1−x2

oraz arcsin(0)−arsinh(0) = 0

ford: arsinh(x) = ln(x+√x²+1) więc nierówność przyjmuje postać: ln(x+√x²+1) ≤ arcsin(x) niech f(x) = ln(x+√x²+1), g(x) = arcsin(x) ze względu na 0≤x≤1 obliczmy f(0) oraz g(0) f(0) = ln(0+√0²+1) = ln(1) = 0, g(0) = arcsin(0) = 0 więc f(0)≤g(0) zachodzi jeśli uda się udowodnić że f'(x)≤g'(x) w przedziale 0≤x≤1, to będzie oznaczało, że dla 0≤x≤1 funkcja f(x) rośnie wolniej lub tak samo jak funkcja g(x)

	1
f'(x) = (ln(x+√x2+1))' =		*(x+√x2+1)' =
	x+√x2+1

	1		1		1		x
=		* (1+		*2x) =		*(1+		)
	x+√x2+1		2√x2+1		x+√x2+1		√x2+1

	1
g'(x) = (arcsinx)' =
	√1−x2

zakładam że 0≤x≤1 co oznacza że wyrażenia, przez które będę mnożył nierówności stronami, są dodatnie, więc nie będę zmieniał zwrotu f'(x) ≤ g'(x) ⇔

1		x		1
	*(1+		) ≤		| *(x+√x2+1)(√1−x2)
x+√x2+1		√x2+1		√1−x2

	x
√1−x2*(1+		) ≤ x+√x2+1
	√x2+1

	x(√1−x2)
√1−x2 +		≤ x+√x2+1 | *(√x2+1)
	√x2+1

√(1−x²)(1+x²) + x(√1−x²) ≤ x*√x²+1 + √(x²+1)(x²+1) √1−x²(√x²+1+x) ≤ √x²+1(√x²+1+x) |:(√x²+1+x) √1−x² ≤ √x²+1 | ()² 1−x² ≤ x²+1 1−x²−x²−1≤ 0 −2x² ≤ 0 |−2) x² ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 oznacza że w szczególności dla 0≤x≤1 zachodzi nierówność f'(x)≤g'(x), co (w połączeniu z f(0)≤g(0) ) powoduje że dla 0≤x≤1 zachodzi arsinh(x) ≤ arcsin(x), co należało pokazać