Wykazać, że dla funkcji f ciaglej w odpowiednim przedziale prawdziwa jest rownos Jabur: Wykazać, że dla funkcji f ciaglej w odpowiednim przedziale prawdziwa jest rownosc : ∫f(sinx)cosx dx=0 na przedziale od 0 do π

Adamm: ∫₀^π f(sinx)cosx dx = ∫₀^π/2 f(sinx)cosx dx − ∫₀^π/2 f(cosu)sinu du = 0 gdzie podstawiamy x = π − u

Adamm: ∫₀^π f(sinx)cosx dx = ∫₀^π/2 f(sinx)cosx dx + ∫_π/2^π f(sinx)cosx dx = ∫₀^π/2 f(sinx)cosx dx − ∫₀^π f(sinu)cosu dx = 0 miało być

Adamm: w ostatniej całce granice oczywiście od 0 do π/2

Jabur: juz mam, wystarczy za sinx podstawic t . wtedy cosxdx = dt i przedzial calkowania bedzie od 0 do 0 czyli calak = 0

Adamm: Nie można tak robić. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie działa tylko gdy to co podstawiamy jest odwzorowaniem różnowartościowym

Jabur: wiec tego typu zadania trzeba robic przez jakies rozbicie na kilka calek?

Adamm: tak sin(x) jest różnowartościowy na [0, π/2] i na [π/2, π], ale nie na [0, π] rozbijamy by pozbyć się tego ograniczenia

Adamm: właściwie to głupio zrobiłem ∫₀^π f(sinx)cosx dx = − ∫₀^π f(sinx)cosx dx od razu po podstawieniu x = π−u

jc: Adamm, jak się stosuje twierdzenie tak, jak na ogół tu na forum: ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(y)dy, y=g(x) (interesuje nas lewa całka), to różnowartościowość nie ma znaczenia. ∫(1+x²) 2x dx = ∫(1+y) dy = y + y²/2 = x² + x⁴/2