Szeregi Jan: Zbadaj zbieżność szeregu.

	(2n)!
∑
	n2n

Jakie kryterium da mi tutaj najsprawniej wynik?

Adamm: jeśli miałbym samemu sprawdzać, to tak bym to zrobił (2n)! = √4πn(2n/e)²ⁿe^θ_n/(24n), gdzie 0<θ_n<1

√4πn(2n/e)2neθn/(24n)
	= √4πn(2/e)2neθn/(24n)
n2n

ⁿ√√4πn(2/e)²ⁿe^θ_n/(24n) → (2/e)² < 1, szereg jest zbieżny

Jan: Ojejku musze niestety przyznać, że wygląda to strasznie :x Z czego korzystałeś zamieniając silnie?

Adamm: wzór Stirlinga n! = √2πn(n/e)ⁿe^θ_n/(12n), gdzie 0<θ_n<1 zapisz sobie ten wzór gdzieś na kartce, a najlepiej zapamiętaj

Adamm: inny sposób to skorzystać z kryterium Abela ale nie podoba mi się ten sposób

Jan: Własnie na kolokwium próbowałem z d'Alemberta aczkolwiek utknąłem w martwym punkcie

Adamm: Pomyliłem matematyków, chodziło mi właśnie o d'Alemberta

(2n+2)!/(n+1)2n+2		(2n+2)(2n+1)
	=		(n/(n+1))2n
(2n)!/n2n		(n+1)2

→ 4/e²

Jan: Wiem, ze to pracochłonne ale czy mógłbyś mi to rozpisać mniejszymi krokami bo nie wiem jak to się skróciło. Wiem, że silnia (2n+2)! = (2n+2)(2n+!)2! i się skróci. Ale tak poza tym to niezbyt

Jan:

	2(2n+1)
umiem doprowadzic do takiej postaci		* n2n
	(n+1)(n+1)2n

grzest:

2(2n+1)n2n		2(2+1/n)		4
	=		→		.
(n+1)(n+1)2n		(1+1/n)(1+1/n)2n		e2

Jan: Gdzie znika n⁽2n) z licznika. Nie widzę tego

Jan: n²ⁿ

grzest: Rozpatrzę tylko część ułamka:

n2n		n2n		1		1
	=		=		→		.
(n+1)2n		n2n(1+1/n)2n		[(1+1/n)n]2		e2

Teraz widać lepiej?