Twierdzenia graniczne studia: Cześć. Czy ktoś mógłby sprawdzić czy zrobiłem poprawnie poniższe zadania, a jeżeli nie to wyjaśnić czemu i jak zrobić poprawnie? 1. Niech (X₁, X₂, ....) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku (−^π₂, ^π₂). Oblicz granicę prawie wszędzie, gdy n −> ∞, ciągu, ∑_i=1ⁿ (X_i + 1)² / ∑_i=1ⁿ cos(X_i) Mi wyszło, że to z Mocnego Prawa Wielkich Liczb dąży do E(X₁ + 1)² / E(cos(X₁)) = (π³ + 12π) / 24 2. Niech (X₁, X₂, ....) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie Poissona z parametrem λ. Oblicz granicę według rozkładu, gdy n −> ∞, ciągu, (X₁ + ... + X_n − nλ) / √nλ Mi wyszło, że z Centralnego Twierdzenia Granicznego to dąży do X₁ ~ N(0, 1), bo rozkład Poissona ma EX = λ i VarX = λ. 3. Niech (X₁, X₂, ....) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym N(0, 1). Oblicz granicę według rozkładu, gdy n −> ∞, ciągu, (X₁² + ... + X_n² − n) / √n Mi wyszło, że z Centralnego Twierdzenia Granicznego to dąży do X₁² ~ N(0, VarX₁²) Dwa powyższe nie wiem czy da się jeszcze bardziej rozpisać? Bo przy 3 mam podpowiedź EX⁴=3 4. Linie lotnicze odnotowały po latach doświadczeń, że 1/10 pasażerów, którzy mają rezerwację na dany lot, nie zgłasza się do odprawy. Linie te na pewien lot sprzedały 441 rezerwacji przy 408 miejscach w samolocie. Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że dla conajmniej 1 pasażera zabraknie miejsca w samolocie? Mi wyszło z tw. De Moivre'a Laplace'a P(S₄41 > 408) = 1 − P(S₄41 ≤ 408) = 1 − P((S₄41 − np) / (√np(1−p) ≤ 57,75 ≈ 1 − φ(57,75) I tu się waham bo wartość dystrybuanty φ(x) rozkładu normalnego N(0, 1) jest już dla 3,49 = 0.9998. Czyli dla 57,75 nie będzie = 1? A to chyba nie jest poprawne prawdopodobieństwo..

Adamm: 1. ok

Adamm: 2. ok

Adamm: 3. źle

ABC: 4 zadanie coś źle rachujesz: p=0,9 q=0,1 n=441 np=396,9 npq=39,69 √npq=6,3 408−396,9=11,1 11,1/6,3≈1,76 czyli 1−Φ(1,76)

Adamm: 3. Centralne twierdzenie graniczne mówi nam że ze słabą zbieżnością

X12+...+Xn2−n
	→ N(0, 1)
√3n

czyli

X12+...+Xn2−n
	→ N(0, √3)
√n

Adamm: albo N(0, 3), zależy od przyjętych oznaczeń