dla jakich n liczba jest podzielna vvool: Ustal, dla jakich naturalnych n: 5n+9 jest podzielne przez 3n+4

jc: Jeśli 3n+4 | 5n+9, tp 3n+4 | 3(5n+9)−5(3n+4)=7, czyli 3n+4=±1, ±7. Wniosek. n=±1, a w przypadku naturalnych, mamy tylko n=1.

vvool: Czemu 3n+4=±1, ±7, a nie np 5n+9=±1, ±7, i te =±1, ±7 to są dzielniki tej różnicy 3(5n+9)−5(3n+4)? a co jakbym to na odwrót zapisał 5(3n+4)−3(5n+9) to by coś zmieniło?

jc: Bo jest napisane, że 5n+9 jest podzielne przez 3n+4, czyli 3n+4 dzieli 5n+9, co oznacza, że k(3n+4)=5n+9 dla pewnego całkowitego k. Jak zapiszesz odwrotnie uzyskasz −7. Dzielniki liczby −7 są takie same, jak dzielniki liczby 7.

vvool: Tak właściwie to czemu trzeba to od siebie odjąć w taki sposób po wymnożeniu n skoro tu chodzi o dzielenie?

Bleee: Albo po prostu:

5n+9		3n + 4 +2n+5		2n+5		3n + 4 − n +1
	=		= 1 +		= 1 +		=
3n+4		3n+4		3n+4		3n+4

	n−1
=1 +1 −
	3n+4

I kiedy ten ostatni ułamek będzie liczba całkowita?

vvool: Jak może być liczbą całkowitą skoro w mianowniku jest większa liczba niż w liczniku?

Jerzy: A czy liczba 0 jest całkowita ?

vvool: Liczby całkowite są rozszerzeniem liczb naturalnych, są to wszystkie liczby naturalne oraz liczby przeciwne do nich (ujemne odpowiedniki), oraz zero. Czyli liczba 0 jest całkowita

Jerzy: No to masz odpowiedź na twoje pyranie.Ten ułamek jest liczbą całkowitą dla n = 1.

vvool: Nieźle ciekawa ta druga metoda, ta pierwsza dla mnie jest taka wyjęta z kapelusza nie wiadomo skąd czemu jak ale druga fajnie wyjaśniona

Bleee: Zauważ tylko, że gdyby n nie musiało być naturalne (a całkowite) to także n=−1 byłoby rozwiazaniem. To co podalem to jest rozwiązanie 'na poziomie' podstawowki/gimnazjum/liceum, natomiast jc podał rozwiązanie "zgodne z litera prawa", ale na poziomie liceum/studiów (i raczej tylko studiów).

Bleee: To nie jest żaden atak na Ciebie, po prostu informuje. Rozwiązanie jc warto zapamiętać bo daje ono od razu Wszystkie możliwe rozwiązania podczas gdy rozpisane tego ulamka tylko upraszcza nam postać z której możemy 'zgadywac' rozwiązania.

vvool: A co jakby było więcej niż 1 rozwiązanie n=1 i ja bym uzyskał tylko jedna odpowiedz a jak uzyskać kolejne?

Bleee: Tak jak napisałem... Rozwiązanie jc JEDNOZNACZNIE pokazuje jakie są możliwe rozwiązania i sprawdzasz które z nich są możliwe do uzyskania. Przy rozpisywania ulamka musisz "ZGADYWAC" czy wszystkie rozwiązania zostały już uwzględnione. Rozpisane ulamka przydaje się w momencie w którym z licznika jesteś w stanie 'pozbyć sie' zmiennej n i zostanie w liczniku tylko jakaś stała liczba (przeważnie całkowita)

Bleee: Np... Kiedy 8n + 40 podzielne przez 2n − 4 Po rozpisaniu ulamka otrzymujesz:

8n+40		56
	= 4 +
2n−4		2n−4

Wiec wtedy gdy 2n−4 dzieli 56, a 56 = 2³*7 Jako że 2n−4 będzie zawsze liczba parzysta to mamy tylko mozliwosci: 2n−4 = ±2 2n−4 =±2² 2n−4 = ±2³ I zauważ że teraz obie te metody wyglądają niemalże tak samo. Jak siądę do laptopa to wyjaśnię Ci jak metodę pokazana przez jc można w inny sposób zastosować tak aby było to 'zjadliwe'

vvool: A co jeśli by zrobić za pomocą algorytmu Euklidesa ⁵ⁿ⁺⁹_3n+4=^(3n+4)+2n+5_3n+4 ³ⁿ⁺⁴_2n+5=^(2n+5)+n−1_2n+5 ²ⁿ⁺⁵_n−1=^2(n−1)+7_n−1=2+⁷_n−1 Odp jest 7k+1

vvool: Ewentualnie jeszcze skorzystać z kongruencji {5n+9=0(mod x) {3n+4=0(mod x) {3*5n+9*3=0(mod x) {5*3n+4*5=0(mod x) {15n+27=0(mod x) {15n+20=0(mod x) 7=0(mod x) Stąd mam x=7(jest liczbą pierwszą) {5n+9=0(mod 7) {3n+4=0(mod 7) {−2n+2=0(mod 7) {3n+4=0(mod 7) n=−6(mod 7) n=1(mod 7) Stąd mam n=1 (mod 7) Czyli spełnia te równanie każda liczba w postaci 7k+1

vvool: Tylko pytanie czy o to chodzi w tym zadaniu?