Zbadaj podprzestrzen i baze Tomasz: W przestrzeni dany jest podzbiór W = {(x₁, x₂, x₃): 2x₁ + 3x₂ + 5x₃ = 0}. a) Zbadać, czy W jest podprzestrzenią. Jeżeli tak, to: b) Podać przykład bazy przestrzeni W Proszę pomoc bo naprawdę nie wiem jak to zrobić

grzest:

	2		3
W = {(x1, x2, x3): 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0} ⇒ x3=−		x1−		x2
	5		5

Zauważ, że podzbiór W wyznaczają wszystkie wektory postaci:

	2		3
(x1, x2, x3) = (x1,x2, −		x1−		x2), gdzie x1, x2 ∊R (zakładam, że przestrzeń
	5		5

zbudowana jest nad ciałem R). Aby W był podprzestrzenią, dla wszystkich u, v ∊ W i a∊ R muszą być spełnione warunki: 1. 0 ∊ W , 2. av ∊ W 3. u+v ∊ W. Zbiór W spełnia te (łatwe do sprawdzenia) warunki, jest więc podprzestrzenią. Dowolny wektor z W można przedstawić jako:

	2		3		2		3		2		3
(s,t,−		s−		t)=(s,0,−		s)+ (0,t,−		t) = (1,0,−		)s+ (0,1,−		)t,
	5		5		5		5		5		5

s,t∊R. Przykładowa baza w podprzestrzeni W:

	2		3
{ (1,0,−		), (0,1,−		)}.
	5		5