Nierówności arr: Cześć! Przychodzę znowu z prośbą o pomoc, aby udowodnić prawdziwość tych trzech nierówności: a) a² + b² + c² ≥ √3abc, wiedząc że a, b, c > 0 i a + b + c ≥ abc

	b − c		c − a		a − b
b) (1+		)a *(1+		)b *(1+		)c ≤ 1 gdzie a b c są długościami boków
	a		b		c

dowolnego trójkąta

	a + b + c		a + b + c
c) aabbcc ≥ (abc)(		) dla a, b, c ∊N+ (ułamek		jest w
	3		3

wykładniku potegi o podstawie abc) Nie mam pojęcia, jak się do tego zabrać.

vedkav: a) Nie wiem czy pomogę, bo zauważ, że np a²+b²=(a+b)²−2ab bo (a+b)²−2ab= a²+2ab +b² −2ab=a²+b² I na tej podstawie a²+b²+c²≥√3abc (a+b+c)² −2ab−2ac−2bc≥√3abc i wiemy też, że a+b+c≥√3abc a+b+c≥√3abc|* ()² (a+b+c)≥3a²b²c² No i dalej czarny punkt, bo nie przychodzi mi do głowy jak to wykorzystać

arr: Dzięki wielkie za fatygę, ale chyba nie wiem jak to dalej wykorzystać. Tak w ogóle to wiemy, że a + b + c ≥ abc a nie √3abc. Czy mógłby ktoś pomóc?

arr: Ktoś coś?

Eta: https://www.matematyka.pl/159637.htm

jc: Wypukłość.

a2+b2+c2		a+b+c
	≥(		)3, wypukłość funkcji x→x2
3		3

	1
a2+b2+c2 ≥		(a+b+c)2
	3

a+b+c ≥ abc , inaczej (a+b+c)^1/2 ≥ (abc)^1/2, założenie

a+b+c
	≥ 3√abc, stąd (a+b+c)3/2 ≥ 33/2(abc)1/2, nierówność pomiędzy średnimi
3

Mnożymy stronami j dzielimy przez 3.

1
	(a+b+c)2 ≥ 31/2 abc
3

KONIEC

jc:

a ln a + b ln b + c ln c		a+b+c		a+b+c
	≥		ln		, wypukłość funkcji x→x ln x
3		3		3

	a+b+c		ln a + ln b + ln c
≥		*		, wypukłość (w drugą stronę) funkcji x→ln x
	3		3

ln a^ab^bc^c ≥ ln(abc)^(1+b+c)/3 a^ab^bc^c ≥ (abc)^(1+b+c)/3

Adamm: Można po prostu powiedzieć 'wklęsłość'