Jak sprawdzić czy zachodzi podana równość? Alaias: a₁=1 i a_n+1=n−a_n . Czy a₉₉=2a₄₉?

wredulus_pospolitus: a₁ = 1 a₂ = 2 − a₁ = 1 a₃ = 3 − a₂ = 2 a₄ = 4 − a₃ = 2 a₅ = 5 − a₄ = 3 a₆ = 6 − a₅ = 3 .... itd. Widzisz zależność

Leszek: a_n+1 = n − a_n , czyli a₂ = 1 − 1=0

wredulus_pospolitus: ajjj ... fakt a₁ = 1 a₂ = 1 − 1 = 0 a₃ = 2 − 0 = 2 a₄ = 3 − 2 = 1 a₅ = 4 − 1 = 3 a₆ = 5 − 3 = 2 a₇ = 6 − 2 = 4 a₈ = 7 − 4 = 3 ,,,,, i teraz zauważyć zależność

Alaias: no, nie widzę

wredulus_pospolitus: no to pech popatrz jakie wartości mają kolejne 'nieparzyste elementy' tego ciągu a jakie wartości mają 'parzyste elementy' tego ciągu

Mariusz: a₀=−1 a_n=−a_n−1+n−1 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞−a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(n−1)xⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ+1=−x(∑_n=1^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=0^∞(n−1)xⁿ+1 ∑_n=0^∞a_nxⁿ=−x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+∑_n=0^∞(n+1)xⁿ−∑_n=0^∞2xⁿ

	1		2
A(x)=−xA(x)+		−
	(1−x)2		1−x

	−2(1−x)+1
A(x)(1+x)=
	(1−x)2

	2x−1
A(x)(1+x)=
	(1−x)2

	2x−1
A(x)=
	(1+x)(1−x)2

2x−1		A		B		C
	=		+		+
(1+x)(1−x)2		1+x		1−x		(1−x)2

A(1−x)²+B(1−x)(1+x)+C(1+x)=2x−1 A(1−2x+x²)+B(1−x²)+C(1+x)=2x−1 A−B=0 −2A+C=2 A+B+C=−1 B=A −2A+C=2 2A+C=−1 2C=1 4A=−3 4B=−3

2x−1		3	1		3	1		1	1
	=−			−			+
(1+x)(1−x)2		4	1+x		4	1−x		2	(1−x)2

	3		3
A(x)=∑n=0∞(−		(−1)nxn)+∑n=0∞(−		xn)
	4		4

	1
+∑n=0∞(		(n+1)xn)
	2

	3		1		1		3
an=−		(−1)n+		n+		−
	4		2		2		4

	3		1
an=−		(−1)n+		(2n−1)
	4		4

Adamm: a_n+1 = n−(n−1)+...+(−1)ⁿ⁺¹+(−1)ⁿa₁ a_2k+1 = k+1 a_2k+2 = k

Mariusz: Adam wzór jawny można też czynnikiem sumacyjnym uzyskać Spróbujesz bo ja nie mam go dobrze przećwiczonego

Mariusz: Takie rozpisywanie jak proponujesz niewiele da jeśli będzie miał nieco inne równanie Czynnik sumacyjny może być przydatny do rozwiązywania rekurencji liniowych postaci a_nT_n=b_nT_n−1+c_n Funkcje tworzące dla rekurencji liniowych a także dla równań takich jak równanie na lczby Catalana, Bernoulliego itp