Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej alex: Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla dowolnej liczby naturalnej n, n⁷−n jest podzielne przez 42

Franek: Ty, jak to jest essa Weź se tego ena przed nawiasik, masz tam n⁶−1, wzorek skróconego Jana Brzechwy (n³−1)(n³+1) Pierwszy nawias to wzór Jana Sobieskiego n(n−1)(n²+n+1)(n³+1) I cyk, ogarniasz, że to jest podzielne przez 42

ABC: poeta tylko głowa nie ta na piechotę nie jest zupełnie trywialne żeby to udowodnić najlepiej przejść do postaci : n⁷−n=n(n⁶−1)=n((n²)³−1³)=n(n²−1)(n⁴+n²+1)=(n−1)n(n+1)[(n⁴+2n²+1)−n²]= (n−1)n(n+1)[(n²+1)²−n²]=(n−1)n(n+1)(n²−n+1)(n²+n+1) podzielność przez 2 i przez 3 jest widoczna natychmiast ale z podzielności przez 7 trzeba się wytłumaczyć A zresztą jak mu kazali przez indukcję to niech robi przez indukcję .

Mariusz: ABC z indukcji to właśnie podzielność przez 7 ładnie wychodzi a z podzielności przez 6 trzeba się wytłumaczyć Dla n=0 n=0 42|0 Zakładamy że jest podzielne dla n=k 42|k⁷−k Sprawdzamy podzielność dla n=k+1 42|(k+1)⁷−(k+1) 42|k⁷+7k⁶+21k⁵+35k⁴+35k³+21k²+7k+1−k−1 42|(k⁷−k)+7k⁶+21k⁵+35k⁴+35k³+21k²+7k 42|(k⁷−k)+7(k⁶+3k⁵+5k⁴+5k³+3k²+k) k⁷−k jest podzielne z założenia Trzeba tylko pokazać że 6|k⁶+3k⁵+5k⁴+5k³+3k²+k Można znowu próbować indukcji

ABC: Mariusz jak bym rozłożył: k(k+1)(k²+k+1)(k²+k+1) i uzasadniał jakoś tak: któraś z liczb k, k+1 jest parzysta jeśli ani k ani k+1 nie dzielą się przez 3, to k daje resztę 1 z dzielenia przez 3, ale wtedy k²+k+1≡1²+1+1 (mod3) czyli także wtedy ten iloczyn się dzieli przez 3

Mariusz: To zadanie byłoby zaakceptowane bo przynajmniej raz została zastosowana indukcja

ABC: oby jego nauczyciel tak samo pomyślał