Szeregi i ciągi. kasia: 1) (Rozdział: Ciągi i szeregi zespolone) {z_n}⊂ℂ z_n=x_n+iy_n stąd (z_n→z=x+iy)⇔(x_n→x ⋀ y_n→y) (para ciągów rzeczywistych) Nie wiem czy dobrze rozumiem ten zapis. Wydaje mi się, że chodzi o to, że ciąg z_n zbiega do pewnej liczy zespolonej z, wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg x_n zbiega do x i ciąg y_n zbiega do y. Jeśli się mylę, będę wdzięczna, za poprawienie mnie.

	−1
2) Jeśli miałabym szereg ∑		to czy mogę określić czy będzie on zbieżny? Bo wydaje mi
	2n2

się, że większość kryteriów jest dla ciągów nieujemnych. Plus czy mogłabym ewentualnie zapisać

	1
to jako −1∑		i zrobić to z kryterium porównawczego? Hm, lub skorzystać z kryterium
	2n2

Leibniza? Pozdrawiam.

kasia: Z kryterium Leibniza nie mogę tu skorzystać na pewno. Pomyliłam się.

ABC: Kasia ad.1) dobrze myślisz

	1		π2
ad.2) myślałem że każdy zna równość ∑n=1∞		=
	n2		6

	1
a nawet nie trzeba jej znać , łatwo pokazać że ∑		jest rosnący i ograniczony z góry ,
	n2

więc zbieżny

kasia: @ABC, hej! Pierwszy raz widzę na oczy tę równość, dzięki! Przykład podałam z głowy na szybko, w myślach raczej miałam ogólnie szeregi o wyrazach ujemnych i czy ze znajomością kryteriów, które znam (Cauchy, d'Alambert, porównawcze, ilorazowe, Leibniza) mogłabym jakoś na nich działać?

ABC: jeżeli możesz sprowadzić szereg o wyrazach ujemnych do szeregu o wyrazach dodatnich to zrób to, jak masz naprzemienny to też możesz próbować najpierw zbieżność bezwzględną zbadać a potem inne kryteria np Leibniza

kasia: Bardzo Ci dziękuję! Spokojnego wieczoru.

kasia: A od razu zapytam przy okazji. Czy kryterium d'Alamberta jest tylko dla nieujemnych? Bo spojrzałam właśnie do książki i nic tam nie jest wspomniane, a wartość bezwzględna mogłaby sugerować, że mogą to być również wyrazy ujemne.

ABC: różne książki podają różne wersje kryt. d'Alemberta i Cauchy'ego , w najbardziej ogólnym przypadku niekoniecznie dla nieujemnych tylko można stosować,tak jak mówisz jest wersja z wartością bezwzgl. jeśli chodzi o kryt. Cauchy'ego to istnieje wersja z granicą górną zamiast granicy itd.

Adamm: kryterium d'Alemberta również można wzmocnić w ten sposób: lim inf a_n+1/a_n > 1 to szereg jest rozbieżny lim sup a_n+1/a_n < 1 to szereg jest zbieżny również w tym sensie kryterium d'Alemberta jest słabsze od kryterium Cauchy'ego (lim inf nie da się zastąpić lim sup tak jak w kryterium Cauchy'ego)

Adamm: https://math.stackexchange.com/questions/1722481/example-of-a-convergent-series-that-lim-sup-fracz-n1z-n-1