Granica z definicji Jan: Wykaz, z definicji że lim_n−>∞ ²ⁿ⁻¹_n+1 = 2 dla e>0 |²ⁿ⁻¹_n+1 −2 | < e |⁻³_n+1| <e ³_n+1 <e n> ³_e −1 Dobrze kombinuje?

jc: może być

Jan: Okay, a co z takim przypadkiem? lim_n−>∞ (√n+1 − √n) = 0 |(√n+1 − √n −0 )|<e |(√n+1 − √n)|<e i co z tym moge zrobic? podniesc do kwadratu?

ABC: pomnożyć przez jedynkę w odpowiedniej postaci

ABC:

	1		1
√n+1−√n=		≤		<ε
	√n+1+√n		2√n

jakoś tak

Jan:

	√n+1 + √n
hmm okay to po pomnożeniu przez
	√n+1 + √n

mam:

	1
|		| <e / cała lewa strona jest wieksza od zera przy n −> ∞ wiec moge usunac
	√n+1 + √n

modul

1
	<e
√n+1 + √n

i teraz dalej nie wiem

Jan: Hmm rozumiem, że ograniczyłeś poprzez zmniejszenie mianownika

ABC: tak

Jan: Rozumiem. A co dalej mam z ta nierównością zrobić? Bo rozumiem te granice z definicji

Jan: bo nie do końca rozumiem*

ABC: rozwiązać względem n tak jak w pierwszym przypadku prawidłowy dowód z definicji idzie mniej więcej tak ustalmy ε>0 , należy wskazać n₀∊N , takie że dla każdego n∊N, n>n₀ zachodzi nierówność którą wypisałeś, a która prowadzi nas do szacowania

1
	<e
2√n

	1
stąd √n>
	2ε

	1
obie strony dodatnie więc n>
	4ε2

	1
można więc napisać wskazujemy: n0=[		]+1
	4ε2

nawias kwadr. oznacza "część całkowita" , jakoś tak to idzie

Jan: Dzięki wielkie, juz chyba wiem jak to robić A mógłbyś mi jeszcze wyjaśnić skąd pojawiła się ta jedynka zaraz za nawiasem kwadratowym?

ABC: z własności funkcji część całkowita, to nam zapewnia że wskazane n₀ będzie liczbą naturalną większą niż

1
	, który to ułamek nie musi być liczbą naturalną
4ε2

(np gdy jest on równy 15,75 to nasz wzór da nam n₀=16)

Jan: Okay, nie pisaliśmy czegoś takiego na ćwiczeniach ale dziękuję