wielomiany, pierwiastek trzykrotny marekarek: Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x)=2x⁴−2x³−6x²+10x+m ma pierwiastek trzykrotny?

ABC: trzykrotny pierwiastek wielomianu musi być dwukrotnym pierwiastkiem jego pochodnej jak również pierwiastkiem jego drugiej pochodnej pochodna wielomianu W'(x)=8x³−6x²−12x+10=2(x−1)(x−1)(4x+5) druga pochodna W"(x)=24x²−12x−12=12(x−1)(2x+1) zatem jedynym kandydatem na trzykrotny pierwiastek jest liczba 1, sprawdzamy czy ten kandydat pasuje: w(1)=0⇒2−2−6+10+m=0⇒m=−4 W(x)=2x⁴−2x³−6x²+10x−4=2(x−1)³(x+2) ok, czyli odpowiedź: dla m=−4

PW: Jeżeli nie znamy twierdzenia zastosowanego przez ABC, to można rozwiązać zadanie prostym, ale żmudnym sposobiem, którego oczywiście nie zalecam.

	m
Badany wielomian ma postać 2(x4−x3−3x2+5x+		)
	2

Wielomian, który ma potrójny pierwiastek p, ma również drugi pierwiastek q, ma więc postać 2(x−p)³(x−q) = 2(x³−3x²p+3xp²−p³)(x−q)=2(x⁴−3px³+3p²x²−p³x−qx³+3pqx²−3p²qx+p³q)= = 2(x⁴−(3p+q)x³+(3p²+3pq)x²−(p³+3p²q)x+p³q) Przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach daje układ równań (1) 1=3p+q, (2) −3=3p²+3pq, (3) 5=−(p³+3p²q),

	m
(4)		=p3q.
	2

Z (1) q=1−3p podst. do (2): −1=p²+p(1−3p) 2p²−p−1=0 p=−2 lub p=1 i odpowiednio q=7 lub q=−2 Podstawienie par (−2, 7) lub (1, −2) do (3) daje 5=−(−8+84) − zdanie fałszywe, para (−2, 7) nie jest rozwiązaniem układu (1), (2), (3).

	m
5=−(1−6) − zdanie prawdziwe, para (1, −2) jest rozwiązaniem, stąd		=13(−2)=−2 czyli m=−4
	2

marekarek: dzięki

iteRacj@: Czy będzie również tak, że czterokrotny pierwiastek wielomianu musi być trzykrotnym pierwiastkiem pochodnej tego wielomianu i podwójnym pierwiastkiem jego drugiej pochodnej?

ABC: Iteracja tak będzie