kombinatoryka Elton: Czesc wszystkim moglby ktos sprawdzic odpowiedz? na ile sposobow mozna podzielić miedzy 8 osob opracowanie 20 roznych tematow tak aby: −kazda opracowala przynajmniej 1. −1 osoba opracowala dokladnie 10 a reszta po co najmniej 1 temacie A) to bedzie 8²⁰ −8 ?

	20 10
B)		+ 710 − 7?

PW: a) (1) x₁+x₂+x₃+...+x₈=20, (x_j≥1, x_j∊N dla j∊{1, 2, 3, ..., 8}) Liczba rozwiązań

	20−1 8−1
		.

Uzasadnienie: w sumie o 20 składnikach 1+1+1+...+1 jest (20−1)=19 znaków "+". Zamieniając (8−1)=7 z nich na "," otrzymamy rozwiązanie równania (1), np. 1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1, 1+1, 1+1+1+1, 1, 1, 1, 1 daje rozwiązanie 3, 7, 2, 4, 1, 1, 1, 1, które oznacza że pierwsza osoba opracowała 3 tematy, druga 7, trzecia 2, czwarta 4, a pozostałe po 1 temacie.

PW: Oj, rozwiązanie moje jest złe, rozdzieliłem tematy "na sztuki" nie uwzględniając, że różnią się między sobą.

Pytający: A)

	8 8−k
∑k=07((−1)k*		*(8−k)20) // z włączeń i wyłączeń

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D0..7+of+binomial(8,8-k)*(-1)%5Ek*(8-k)%5E20 S(20,8)*8! // z liczby Stirlinga drugiego rodzaju https://www.wolframalpha.com/input/?i=stirlings2%5B20,8%5D*8! B)

8 1	20 10		7 7−k
		* ∑k=06((−1)k*		*(7−k)10) // z włączeń i wyłączeń

https://www.wolframalpha.com/input/?i=binomial(8,1)*binomial(20,10)*(sum+k%3D0..6+of+binomial(7,7-k)*(-1)%5Ek*(7-k)%5E10)

8 1	20 10
		*S(10,7)*7! // z liczby Stirlinga drugiego rodzaju

https://www.wolframalpha.com/input/?i=binomial(8,1)*binomial(20,10)*stirlings2%5B10,7%5D*7!

PW: Dobrym sposobem jest przyporządkowanie każdemu tematowi ludzi go opracowujących, czyli opisać to funkcją f : {1,2,3, ..., 20} → {1, 2, 3, ..., 8} Funkcji takich jest 8²⁰. Każda z nich przyjmuje 8 wartości lub mniej. Z uwagi na zastrzeżenie, że każda z wartości 1, 2, 3, ..., 8 musi być osiągnięta co najmniej raz, musimy odjąć te funkcje, które osiągają tylko 7 wartości lub mniej, co daje 8²⁰−7²⁰.

PW: W dalszym ciągu źle myślę, już widzę. Pora spać.

Elton: @Pytajacy A mógłbyś wyjaśnić skąd wziąłeś takie rozwiązanie? Bo szczerze powiem, że nie rozumiem tego co zapisałeś

Mila: 1) A) Masz 20 różnych tematów , wrzucasz je do 8 różnych szufladek, tak aby żadna nie była pusta. Zatem liczysz ile jest suriekcji : f:{x₁,x₂,...x₂₀}→{y₁1,y₂,...y₈}− pierwszy wzór albo Liczysz ile jest podziałów zbioru 20 różnych elementów na 8 niepustych podzbiorów i mnożysz przez 8! Tu stosujesz liczby Stirlinga II rodzaju S₂(20,8)*8! S₂(20,8) możesz odczytać z tabeli, albo zostawić. Resztę później, mam gości

Elton: Oh dziekuję bardzo za odpowiedz i wytlumaczenie hmm czyli w podpunkcie b) wyjdzie:

20 10		10 8
	+		* 8! ?

Elton: Teraz poprawnie bo zostanie 7 osob

20 10		10 7
	+		* 7!

Mila: cd (1) b

8 1		20 10
	*		− wybór jednej osoby , która otrzyma 10 wybranych tematów

Dalej : 10 pozostałych tematów należy przydzielić pozostałym 7 osobom, w taki sposób, aby każda otrzymała co najmniej jeden temat. Znów liczymy liczbę suriekcji: f:{x₁, x₂,.. x₁₀}→{y₁,y₂,...y₇}− pierwszy wzór albo liczby Stirlinga II rodzaju: S₂(10, 7)*7! Łącznie:

8 1		20 10
	*		*S2(10, 7)*7!