nierówność dowód arr:

	a+b+c
Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to √3		> √a2+b2+c2
	2

To rozwiązałem to zadanie tak: założenie a,b,c > 0, po przekształceniach różnych tezy wyszło mi 6ab +6bc + 6ac > a² + b² + c² dalej skorzystałem ze znanej powszechnie nierówności a² +b² +c² > ab + bc +ac −−> dla trójkąta nierównobocznego dodałem stronami i wychodzi 5ab + 5bc +5ac > 0 ⇔ ab +bc + ac > 0 zatem wszystko się zgadza, bo a,b,c > 0 dla trójkąta równobocznego a = b = c = x 6x² + 6x² + 6x² > x² + x² + x² 15x² > 0 czyli również się zgadza Pytanie moje: czy można jakoś szybciej/prościej Kombinowałem coś ze średnią kwadratową i arytmetyczną i wyszło mi, że musi zachodzić nierówność 3S_A>2S_K z trzech dodatnich liczb, ale nic mi nie wyszło.

Eta: 2 sposób Z nierówności trójkąta a+b+c>2c ⇒ (a+b+c)²>4c² a+b+c>2b ⇒(a+b+c)²>4b² a+b+c>2a ⇒(a+b+c)²>4a²

	3(a+b+c)2
to		>a2+b2+c2 /√
	4

	√3(a+b+c)
		>√a2+b2+c2
	2

c.n.w. 3 sposób z tw. kosinusów .........

jc: a= y+z, b=z+x, c=x+y dla pewnych dodatnich x,y,z. √3(x+y+z)=√(y+z)²+(z+x)²+(x+y)² ⇔3(x+y+z)²>(y+z)²+(z+x)²+(x+y)² ⇔x²+y²+z² + 4yz + 4zx + 4xy > 0, co faktycznie ma miejsce.

jc: Wydaje się, że mamy mocniejszą nierówność:

a+b+c
	> √a2+b2+c2
√2

przy założeniu, że a, b, c są długościami boków trójkąta.

arr: Dziękuję Wam bardzo. Faktycznie można prościej. Zaraz wypróbuję tw. kosinusów.

qwerty: jc, pokażesz/dasz wskazówkę jak tą mocniejszą nierówność udowodnić?

jc: Zastąp pierwiastek z 3 pierwiastkiem z 2. Przepisz kolejne linie dowodu. Ostania linia nadal będzie prawdziwa. 2xy+2yz+2zx > 0.

Eta:

	a+b+c
		>√a2+b2+c2
	√2

zachodzi dla Δ prostokątnego równoramiennego

jc: L=(1+1+√2)/√2 = 1+√2 P=√1+1+2=2 Najgorzej będzie dla wyciągniętego trójkąta: a=b=1, c=bardzo małe. Wtedy lewa strona będzie bliska prawej.

qwerty: Rozumiem, dziękuję

arr: Czy mogę dostać wskazówkę, aby dowieść z twierdzeniem kosinusów, bo jednak nie widzę jego zastosowania?

Eta: a²=b²+c²−2bc*cosα i cosα≤1 b²=a²+c²−2ac*cosβ i cosβ≤1 c²=a²+b²−2ab*cosγ i cosγ≤1 dodając stronami po przekształceniach otrzymujemy a²+b²+c²≤2ab+2ac+2bc< 3(2ab+2ac+2bc) to 4(a²+b²+c²) < 3(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc) ........................... otrzymasz tezę

arr: Dziękuję bardzo.

Eta: